設n為任意正整數將
n+1 n+2 n+3...2n每一個數的最大奇因數相加
試證和為n^2

請問要怎麼證明呢
國中

回應

訪客 (未驗證)

2003-11-08 14:29
用數學歸納法
將x的最大正因數表為A(x),
那些最大正因數之和表為S(x)

when n=1 S(1)=1^2成立
if when n=k S(k)=k^2成立
then when n=k+1
S(k+1)=S(k)-A(k+1)+A(2k+1)+A(2k+2)
因為2k為偶數
所以2k+1為奇數,而奇數的最大正因數即為自己
且2k+2為k+1的2倍
所以A(2k+2)=A(k+1)
S(x)=k^2-A(k+1)+(2k+1)+A(2k+2)
=k^2+2k+1
=(k+1)^2
得證

nowfypc

2003-11-13 13:13
若n為1 帶入後 依題目的方式得1=1^2
若n為2 帶入後 依題目的方式得1+3=2^2
若n為3 帶入後 依題目的方式得1+3+5=3^2
所以
若n為x 帶入後 依題目的方式得1+3...+(2x-1) 得x^2
得證^_^

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