請教:是否有此特殊的公式?感覺它是對的,其證明的方法是用數學歸納法嗎?或者有其他的証法
懇請賜教

高中

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訪客 (未驗證)

2008-09-28 11:52
令(a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n))^2
=a(1)^2+a(2)^2+...+a(n)^2+2(a(1)a(2)+a(1)a(3)+...+a(n-1)a(n))
=k

則(k+a(n+1))^2
=(a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+a(n+1))^2
=(a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+a(n+1))(a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+a(n+1))
=(a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+a(n+1))k+(a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+a(n+1))(a(n+1))
=k^2+k(a(n+1))+k(a(n+1))+(a(n+1))^2
=a(1)^2+a(2)^2+...+a(n)^2+2(a(1)a(2)+a(1)a(3)+...+a(n-1)a(n))+2((a(n+1))a(1)+(a(n+1))a(2)+...+(a(n+1))a(n))+a(n+1)^2
=a(1)^2+a(2)^2+...+a(n)^2+a(n+1)^2+2(a(1)a(2)+a(1)a(3)+...+a(n-1)a(n+1)+a(n)a(n+1)

故得證

我不會打小n，就用(n)代替
誰可以告訴我怎麼打

若只是
a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n))^2
=a(1)^2+a(2)^2+...+a(n)^2+2(a(1)a(2)+a(2)a(3)+...+a(n)a(1))
就不對
像a(1)a(3)就少了

ksjeng

2008-09-29 00:31
謝謝你提供想法喔 小n我也不會在網頁中打出
我是使用mathtype打在word另存成gif檔
傳送到免費的網頁空間如www.flickr.com
再從<全部尺寸>中複製URL
後貼到本介面的 IMG 底下提供幾位網友的想法
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上面那條可以用trinomial 來做
(a1+a2+a3)^2
=[(a1+a2)+a3]^2
=(a1+a2)^2 + 2(a1 + a2)*a3 + (a3)^2
=(a1)^2 + 2(a1)(a2) + (a2)^2+2[(a1)(a3)+2(a2)(a3)+(a3)(a2)]
=(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2 + 2(a1a2+a1a3+a2a3)
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(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 100

1 + (2^2) + (3^2) + (4^2) + (2 * ((1 * 2) + (2 * 3) + (3 * 4) + (4 * 1))) = 78

這真的是對的嗎?
何況寫條乘式來交叉相乘會發現有一堆a1*a3,a1*a4之類的吧
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嗯... 其實條式係
(a1+a2+...an)² = a1²+a2²+...an²+2[Summation ai*aj (1<=i<j<=N)]
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ksjeng

2008-09-29 00:34
再補充:
(a+b+c+.....+z)(a+b+c+.....+z) 乘開之後會出現蝦咪呢？

按照分配率分配開來的結果，

把左邊括弧跟右邊括弧各選一個符號，乘在一起，

全部再加起來就是了。

當左邊跟右邊都選一樣的符號的時候，就會出現 a^2, b^2, c^2, ....., z^2

那那那那那~~~~~~左邊跟右邊括弧各選一個符號，如果選的不是一樣的呢？？？

比如說，左邊選 a 右邊選 b，就會出現 ab 這一項，

可是，左邊選 b 右邊選 a，也會出現 ab 這一項呀，

因此乘開之後，如果是不同的符號乘在一起，它的係數就會是 2，

也就會有會出現 2×〝a~z中任選兩個符號相乘，然後全部加起來〞。
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再附上如何貼圖的作法
如何在此站發表與討論數學題目
用mathtype在word打好(你也可以使用word內建的Eqution方程式編輯器)
後複製在桌面上 會變成一個gif檔(也可從一個編輯資料檔中另存一個gif檔)後上傳
可參考 影音教學
http://xoops.creativity.edu.tw/teach/picpaste.htm
或
http://kiroro.myweb.hinet.net/teach/306.htm
或參考
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1306061607145
或上傳到如下的免費空間(如無名小站,pchpme,yahoo..) 複製http語法 貼上
www.imageshack.us

註:數學符號(屬於付費軟體,可以免費下載試用版)
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1306030613713


如此 愛好數學的高手 就能在本站貼上圖檔或gsp圖形參與發問或討論

ksjeng

2008-09-29 00:47
再補充一位老師的指正:
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怎麼會有這種錯誤推廣??
(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
後面的括號中是兩兩相乘的和才是
一般我們寫成
(a1+a2+...+an)2=(a12+a22+...+an2)+2Σ(1≤i<j≤n) aiaj