高中平面方程式

(1)
x+2y+3z=1..........1式
x+3y+2z=-1.........2式
3x+10y+5z=k......3式
2式-1式→y-z=-2→y=z-2......4式
4式代2式、3式┬→x+5z=5→3x+15z=15
_ _ _ _ _ _ _ _└→3x+15z=k+20
所以k+20=15→k=-5

P.S. 是否有人可以幫我想到為什麼可以這樣解(丟臉)
或者這題是配好的.

(2)
x+2y+2z=8→x=8-2y-2z
→(x+1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=(9-2y-2z)^2+(y+2)^2+(z-3)^2
=5y^2+5z^2+8yz-32y-32z+89
=(2y+z-(16/3))^2+(y+2z-(16/3))^2+(289/9)
所以當x=8/9, y=16/9, z=16/9 時所求得最小值 289/9

上面(1)的解法
是用降低未知數個數的方法
將三個三元(x,y,z)一次方程組轉為二元(x,z)一次的來解
所以得到兩個x,z係數成比例的式子
可視為兩平行或重合的直線
因題目說有解 所以是重合的 故常數部分亦成比例

(2)的解法還有一種
轉化成幾何 即視(x,y,z)為平面x+2y+2z=8上的一點
求點(x,y,z)到點(-1,-2,3)的距離平方之最小值
請想想如何解得