1)空間中四平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1圍成一個四面體,試求此四面體之內切球的半徑。
2)設平面E過點P(根號2,21)，其法向量與y軸,z軸正向夾角分別為60度，120度，則平面E的方程式為?
3)空間中有三點A(1,2,3)，B(3,-2,1)，C(-1-2,1)及一平面E，已知A在E之正射影為A'(-1,3,5)求:
C到E的距離為?;線段AB在E上投影長為?
4)設平面E:x/a+x/b+x/c=1與原點的距離為d,其中a,b,c為三正數,若A(1,2,3)在平面E上，試求a,b,c之值,使d的值最大
高中

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笑哥

2008-10-26 21:26
1.
(1)設內切球球心(a,b,c)，則球心至四個平面的距離等於球半徑r
因此a=b=c=|a+b+c-1|/3^1/2=r
r=[3-(3)^1/2]/6或[3+(3)^1/2]/6(不合)
(2)將四面體頂點與球心連線切成四個三角錐
其底面面積分別為1/2,1/2,1/2，另一為邊長(2)^1/2的正三角形，其面積為(1/2)*(3)^1/2
1/3*[1/2+1/2+1/2+(3)^1/2/2]*r=1/6
r=[3-(3)^1/2]/6

2.由上，其法向量為((2)^1/2,1,-1)或(-(2)^1/2,1,-1)
故E平面方程式為(2)^1/2x+y-z=k或(2)^1/2x-y+z=k
將p點代入得E平面方程式為(2)^1/2x+y-z=3或(2)^1/2x-y+z=1

3.由AA'得法向量，將A'代入得E平面方程式為2x-y-2z+10=0
故C到E的距離為|-2+2-2+10|/3=8/3
線段AB在E上投影長可用AB與AA'外積求得平形四邊形面積除以AA'長度
(2,-4,-2)x(-2,1,2)=(-6,0,-6)
[(6^2+6^2)^1/2]/3=2*(2)^1/2

4.A代入E得1/a+2/b+3/c=1，1/a,2/b,3/c均為正數
求d=1/[1/a^2+1/b^2+1/c^2]之最大值
亦即求(1/a^2+1/b^2+1/c^2)之最小值
利用柯西不等式(1^2+2^2+3^2)(1/a^2+1/b^2+1/c^2) > = (1/a+2/b+3/c)^2
(1/a^2+1/b^2+1/c^2)之最小值為1/14，1/a:1/b:1/c=1:2:3
故a=14,b=7，c=14/3