幫忙一下
教我證尤拉線 :-(
高中

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chf0523

2003-11-11 13:08
我用向量證明如下:

設外心為 O, 且向量 OA=向量a, 向量OB=向量b, 向量OC=向量c,

則重心G的 '位置向量' 為 向量OG=(1/3)(向量a+向量b+向量c),

定一點P,使 向量OP=(向量a+向量b+向量c), 則向量AP=向量b+向量c,

而 向量AP 與 向量BC 的內積

=(向量b+向量c)(向量c -向量b)

=|c|^2 - |b|^2

= 0 由此可知 AP 與 BC 垂直,

同理, BP 與 AC 垂直, 因此 P 事實上是三角形ABC的垂心 H,

得 向量OH = 向量OP = 向量a+向量b+向量c = 3向量OG,

故 O,G,H 三點共線且 (線段OH) = 3 (線段OG) .

Fernando

2003-11-11 19:19
我是想用斜率證.但........還在努力中

訪客 (未驗證)

2003-11-12 19:48
sorry 我還沒學向量ㄟ
順便問你一下 尤拉線有啥用

Fernando

2003-11-12 20:57
尤拉線是外心.重心.垂心3點共線所組成的線段

chf0523

2003-11-12 23:19
嘿, 補充一下 :

不但 外, 重, 垂 三點共線,

而且線段比為 2 : 1 喔 !

訪客 (未驗證)

2004-01-11 12:48
無需向量

有一三角形ABC，點O、G及H分別為△ABC的外心、重心及垂心。點D、E及F分別在BC、CA及AB上，使AHD、BHE及CHF分別成一直線。點J、K及L分別在BC、CA及AB上，使AGJ、BGK及CGL分別成一直線。證明OGH成一直線。

註：該直線被稱為歐拉線

訪客 (未驗證)

2004-01-11 12:49


延伸CO到M，使COM為外接圓O的直徑，點P及Q分別是GA及GH的中點。連MA、MB、MO、OJ及PQ。

COM是一直徑 (已知)
∴∠MAC=∠MBC=90° (半圓上的圓周角)
AHD⊥BC (垂心性質)
BHE⊥CA (垂心性質)
∴MB//AH (同位角相等)
∴MA//BH (同位角相等)
∴AMBH是一平行四邊形 (根據定義)

CJ=JB (重心性質)
CO=OM (半徑)
∴2OJ=MB (中點定理)
∴OJ//MB (中點定理)
∵MB=AH (平行四邊形對邊)
∴2OJ=AH
∴OJ//AH
GQ=QH (已知)
GP=PA (已知)
∴2PQ=AH (中點定理)
∴PQ//AH (中點定理)
∴OJ=PQ
∴OJ//PQ

∵OJ//PQ (已證)
∴∠GOJ=∠GQP (錯角，OJ//PQ)
OJ=QP (已證)
∴∠OJG=∠QPG (錯角，OJ//PQ)
∴△JGO≡△PGQ (ASA)
∴∠JGO=∠PGQ (全等三角形的對應角)
∠JGQ+∠PGQ=180° (直線上的鄰角)
∴∠JGQ+∠JGO=180°
∴OGQ成一直線
∴OGH成一直線

訪客 (未驗證)

2004-01-11 12:49
當中已包括證明了2OG=GH，2OJ=AH

訪客 (未驗證)

2004-12-29 11:12
:-o :-P 垂心
引用：

hankchen91yh41 寫道:
幫忙一下
教我證尤拉線 :-(
:fight: :birthday: :-?