7. 在無窮數列{a_n} ， a_0=0中，對於 ，若n的最大奇因數除以4餘數為1，則 a_n=a_(n-1)+1；若n的最大奇因數除以4餘數為3，則 a_n=a_(n-1)-1。此數列的首幾項為：0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。
(a) 證明在此數列中，1將出現無窮多次；（五分）
(b) 證明在此數列中，每一個正整數將出現無窮多次。（五分）
國中

回應

顏嘉佑

2009-04-02 17:54
這個題目被我引用來當做今年的台北縣科學展覽主題，報名到昨天才結束。今天，上網提出我的一些挫折和二進位法發現的理由。
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一些定義
定義數列{dp(n)}：
設無窮數列{dp(n)}，dp(0)=0，n、k和q是自然數， p為質數，n=p^(k-1)×q， q和p互質。
若q除以p^後餘數小於((p^2)+1)/2，dp(n)=dp(n-1)+1；若q除以p2後餘數大於或等於((p^2)+1)/2則dp(n)=dp(n-1)-1。
很顯然，當質數p=2時，數列{a(n)}就是{d2(n)}。
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ABCD法式我原先所創造的一種方法。理由是每逢a((2^k)-1)=1，因此，以4個一組的切法。雖然，最後無法被用來證明「{a(n)}會出現無窮多個正整數」，但是，今年（2009年）1月2日，數學網站公佈此一題目後，今年花了整個寒假利用ABCD法發現{a(n)}的一些性質。
定義「ABCD」法：
A的Y2（n）組合：（1、1、1、3），經整組運算後增減＋2，出現最高數字：第3個數
B的Y2（n）組合：（1、1、3、3），經整組運算後增減0，出現最高數字：第2個數。
C的Y2（n）組合：（3、1、1、3），經整組運算後增減＋2，出現最高數字：第3個數。
D的Y2（n）組合：（3、1、3、3），經整組運算後增減-2，出現最高數字：第1個數。
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寒假，一直以「ABCD 法」思考數列{a（n）}以便尋找第k區間a(n)=k，雖然失敗，但卻也幫忙我對數列{a(n)}的認識。
發現二進位法的主要來源是「ABCD 法」是以*1*3的型式出現。
最重要的是老師們的提醒幫忙我很多，在此說一聲謝謝。


顏嘉佑

2009-05-01 06:40
引用：

顏嘉佑 寫道:
謝謝九章，這一題可以使用二進位法處裡。


感謝所有教過我的老師。
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如果把十進位的n以二進位法表示，就可以很快找到由n變成a(n)值的方法，先看直觀觀察，再觀看二進位轉換法法的猜測規則。
1 =（1）2、3 =（11）2、7 =（111）2，對於十進位1、3、7，都是a(n)=1
2 =（10）2、4 =（100）2、6 =（110）2、8 =（1000）2，對於十進位2、4、6、8，都是a(n)=2，
5 =（101）2、9 =（1001）2，對於十進位5、9都是a(n)=3，
10=（1010）2，對於十進位10都是a(n)=4，
規則一：猜測連續出現111…111時，a(n)值都不會增加。
規則二：連續出現000…000時，a(n)值都不會增加。
規則三：增加1個10型，a(n)值會增加1。
規則四：增加1個01型，a(n)值會增加1。
規則五：減少1個10型，a(n)值會減少1。
規則六：減少1個01型，a(n)值會減少1。
規則七：由直觀觀察， a(n)值都發現少1個1，每個二進位法之前，再加1個0，最後計算01型的數目和10型的數目總和就成為a(n)值。

根據上面猜測規則舉例：如n=10=(1010)2，也就是十進位的10變成二進位的（1010）2。在1010前加1個0，使得（1010）2變成01010，再計算01010中，由右向左出現01有2次及10各有2次，總計01型式和10型式次數有4次。那麼a(10)=4。


再度感謝老師，若我的科展作品「奇妙的數列」在五月九日舉行的臺北縣賽能得到肯定，完全要感謝所有的老師。