環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題

是o非x，第1次全猜o，得知答案為o者有幾題
以下30題兩題一組分15組，預定每次依序鎖定一組猜xx，其餘固定oo，
與第1次所得結果相比，依據其答對總題數變化來判斷正確答案
若兩題正確答案依序為oo,ox,xo,xx，
則原以oo所猜對題數(2,1,1,o)此時改猜xx所對題數變成(o,1,1,2)，
因其餘各組與第一次同，故總猜對題數因而變化為(-2,0,0,+2)

1.若對的題數少兩題，表示正解為oo，對的題數若增加兩題，表示正解為xx

2.若對的題數不變，表示正解原為ox或xo，下一次擇其一而猜時
，不是兩題全對就是兩題全錯，即可確定正確答案．

3.由上得知兩題一組，至多猜兩次可確定正確答案

4.若有連續兩組分別由(xx,oo)和(xo,ox)各擇其一所組成，則兩組共三次即可確定

5.若每組猜第一次得知正解可能為ox或xo，亦可用下述方法每次與第1次3o題全猜o的結果相比

方法：與下一組合併，第二次猜xoxx，第三次視第二次出現情形猜xxxx或oxxo

(i)
猜第二次時與下一組合併同時猜xoxx
如正確為oxoo,oxox,oxxo,oxxx，猜對題數由(3,2,2,1)變成(o,1,1,2)，總變化-3,-1,-1,+1
如正確為xooo,xoox,xoxo,xoxx，猜對題數由(3,2,2,1)變成(2,3,3,4)，總變化-1,+1,+1,-3

(ii)
如第二次總變化為-3，則可能為oxoo或xoxx，此時第三次改猜xxxx，
與原oooo時猜對題數3,1相比，此時分別對1,3，由總變化看來即可區分

(iii)
如第二次總變化為-1，則可能為oxox,oxxo,xooo，第三次猜oxxo，
與原oooo時猜對題數(2,2,3)相比，分別對(2,4,1)，由總變化看來即可區分

(iv)
如第二次總變化為+1，則可能為oxxx,xoox,xoxo，第三次猜oxxo，
與原oooo時猜對題數(1,2,2)相比，分別對(3,0,2)，由總變化看來即可區分

6.
無論如何，兩組四題至多用三次即可判出正確答案
前十四組28題共用3*7=21次，
最後一組由前面的結果扣除答對題數可判定為oo,(ox或xo),xx，至多一次即可確定
如此至多共用1+21+1=23次確定全部答案，在第24次時即可全數正確作答

我覺得您的答案有問題，在(iii)，您並不知道「與原oooo時猜對題數」，只知道30題共有幾題是對的。

若正解為oxox,oxxo,xooo，則二次分別以xoxx和oxxo和首次oooo相比
猜對題數總變化量分別為(-1,0)，(-1,2)，(-1,-2)
用來區別的是比較出來的變化量

謝謝，我懂了。

我發現一種方法，只要22次。

1.全部猜O，可知有幾題是對的。
2.六題一組，第一組第一次猜XXOOOO，其他都是O。
3.若猜對題數-2，則前兩題是OO，若猜對題數+2，則前兩題是XX。之後4題可在3次做出來(用笑哥的方法)。
4.若猜對題數不變，則前兩題可能是OX或XO。
5.第二次猜OXXXOO，並和全部猜O做比較，會有以下情況：
(1)若猜對題數+3，則前四題是OXXX，之後2題可在2次做出來。
(2)若猜對題數-3，則前四題是XOOO，之後2題可在2次做出來。
(3)若猜對題數+1，則前四題可能是OXOX、OXXO、XOXX。
(4)若猜對題數-1，則前四題可能是XOXO、XOOX、OXOO。
(5)在這(3)(4)是等價的，只需討論其中一種情況。
6.若第二次猜猜對題數+1，則第三次猜OXXOXO，並和全部猜O做比較，會有以下情況：
(1)若猜對題數+3，則前五題是OXXOX，最後1題可在1次做出來。
(2)若猜對題數-3，則前五題是XOOOO，最後1題可在1次做出來。
(3)若猜對題數+1，則前五題可能是OXXOO、OXOXX。
(4)若猜對題數-1，則前五題可能是OXOXO、XOOOX。
7.若第三次猜猜對題數+1，則第四次猜OXOXXX，並和全部猜O做比較，會有以下情況：
(1)若猜對題數+4，則這6題是OXOXXX。
(2)若猜對題數+2，則這6題是OXOXXO。
(3)若猜對題數+0，則這6題是OXXOOX。
(4)若猜對題數-2，則這6題是OXXOOO。
8.若第三次猜猜對題數-1，則第四次猜OXOXOX，並和全部猜O做比較，會有以下情況：
(1)若猜對題數+3，則這6題是OXOXOX。
(2)若猜對題數+1，則這6題是OXOXOO。
(3)若猜對題數-1，則這6題是XOOOXX。
(4)若猜對題數-3，則這6題是XOOOXO。
9.所以6題只要4次就可以判斷出來，只要1+5*4=21次就可以全部判斷出來，第22次就可以全部答對。

很高興你能了解我的做法，但我要強調一下，這一題有很多的解法可以嘗試，創造性的思考很重要，對於一個新的問題或已經被解決的問題，脫離固有的思維去展現創意，才有可能更深入或另外發展到新的領域．