在我閱讀與數論等領域相關的數學書籍時，
我看見了下列這道問題：
是正整數多還是完全平方數多？
書中給出了以對應法解題的解釋：
將正整數1、2、3等等依序與完全平方數1x1、2x2、3x3等等對應配對，可得兩者一樣多。
但是我卻想到另一種解題方式：
在正整數集合{1、2、3、等等}中，
可取出2、3等屬不存在於完全平方數的集合。
由於整體大於部分，故正整數較多。
為什麼兩種證明方式產生的結果不一樣？
哪一種才是合理的？
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回應

crazytrquan

2009-02-22 14:49
有關個數的多少問題分為二部分
一.若比較個數的兩方面均為有限個,則直接比較其大小即可
二.若比較的個數兩方面均為無限個,則事實上「比較大小」一詞應更正(因為無限大不是數,所以不遵從實數的性質)
正確的說法應是:「以兩集合能否形成一對一的對應」,來作為比較的依據
若兩集合不能形成一對一的對應,則必有「其中一方比另一方「多很多」」
綜合上述
原題目可得到「正整數和完全平方數可行成一對一的對應」
講「是正整數多還是完全平方數多？」的敘述是不適當的
另舉例「因為實數集合和有理數集合不能 形成一對一的對應」所以實數比有理數「多很多」
而「全體自然數和全體有理數是可形成一對一的對應的」

j2006mouse

2009-02-23 13:48
但若是
1對應第1個質數
2對應第2個質數
3對應第3個質數
.......
應該可以一一對應
但由於整體大於部分
矛盾!

WENDYCHI

2009-02-25 21:54
自然數對應正有理數
[N(N+1)/2]+M對應(N+2-M)/M . . . (M=1~N+1的正整數)
即可一一對應(如下圖)
-----------------
對應自然數 | 分母
--------------↓-1-----2-----3-----4-----5
------------- ↓------------------------------
分子-- 1--| - 01 - 03 - 06 - 10 - 15
---------2--| - 02 - 05 - 09 - 14 - 20
---------3--| - 04 - 08 - 13 - 19 - 26
---------4--| - 07 - 12 - 18 - 25 - 33
---------5--| - 11 - 17 - 24 - 32 - 41
又因A/B=AC/BC
因此自然數個數多於正有理數個數
整體小於部分...

j2006mouse

2009-02-25 21:58
奇數對應自然數
n對應2n-1
......
可一一對應
所以自然數中沒有偶數!
偶數對應自然數
n對應2n
......
也可以一一對應
所以自然數中沒有奇數!
????
;-)