三角形ABC中,角B=60度,角C=80度,在AC上取一點D ,使得角ABD=20度,在AB上取一點E,使得角ACE=10度,設BD與CE交於K點, 求證:AK射線垂直BC學習討論區 回應 bobogei81123 Re: 證明垂直 2009-03-02 23:37 設AK交BC於F 設AFB=x度 角AEC=180度-角ACE-角EAC=130度 角ADB=180度-角ABD-角EAC=120度 角AKE=角CKF=(180-70-X)度=(110-X)度 角AKD=角BKF=(180-40-X)度=(140-X)度 因為AEKD為四邊形 40+130+120+110-X+140-X=360 2X=180 X=90 即AK垂直BC 可能要畫個圖能看懂.... wetteland Re: 證明垂直 2009-06-25 17:36 樓上的做法是錯的吧!!! ∠AKE=∠CKF=(180-70-X)度=(110-X)度，從這裡就開始錯了，應該是∠AKE=∠CKF=[180-70-(180-x)]度=(x-70)度 你設∠AFB=x度，在算∠AKE時，又錯把∠AFC認為是x度，∠AFC+∠AFB = 180度-->x+x=180度，x=90度。你不過是把自己預設結論代入結果罷了。因為你一開始就假設角∠AFB=x度，∠AFC=x度，∠AFB+∠AFC=180度--->2x=180度，x當然等於90度，你算出來的不過是自己原本假設的結論，等於把自己左手的錢交給右手而已。 事實上，你的做法全錯，如果你稍有數學底子的話，你應該知道這種類型的題目若用角度代來代去，是解不出答案的。一開始設的變數x，不管用了幾個三角形去代換角度，變數是消不掉的，就像鬼打牆一樣轉不出來的，要用特殊的作圖法，才能解出答案。 至於為什麼設角度x，然後不斷代換角度，想找出一個一元一次方程式來解出x是不可行的原因乃在於∠ABD, ∠CBD,∠ACE,∠BCE若用不同的組合，你以為∠BAF都會是漂亮的數字嗎？不會!!! 只是剛好這題有特殊設計過，讓∠BAF剛好是30度，是漂亮的整數。若是∠ABD, ∠CBD,∠ACE,∠BCE是其它數字，∠BAF的角度值不會是那麼漂亮的數值，可能會是很醜的數字，甚至角度值可能是無理數。 用角度代換法，換得出來無理數的角度值嗎？當然不行！所以角度代換法不可行！ j7631103 Re: 證明垂直 2009-06-25 22:01 以西瓦的三角表示法就可以瞬秒了 (sin∠CAK/sin∠BAK)(sin∠BCE/sin∠ACE)(sin∠ABD/sin∠CBD)=1 =>(sin∠CAK/sin∠BAK)(sin∠70/sin∠10)(sin∠20/sin∠40)=1 注意到有∠CAK+∠BAK=40 所以在∠CAK=10,∠CAK=30成立=>AK射線垂直BC 如果∠CAK不等於10,就可以推得西瓦等式不成立,即矛盾!!
bobogei81123 Re: 證明垂直 2009-03-02 23:37 設AK交BC於F 設AFB=x度 角AEC=180度-角ACE-角EAC=130度 角ADB=180度-角ABD-角EAC=120度 角AKE=角CKF=(180-70-X)度=(110-X)度 角AKD=角BKF=(180-40-X)度=(140-X)度 因為AEKD為四邊形 40+130+120+110-X+140-X=360 2X=180 X=90 即AK垂直BC 可能要畫個圖能看懂....
wetteland Re: 證明垂直 2009-06-25 17:36 樓上的做法是錯的吧!!! ∠AKE=∠CKF=(180-70-X)度=(110-X)度，從這裡就開始錯了，應該是∠AKE=∠CKF=[180-70-(180-x)]度=(x-70)度 你設∠AFB=x度，在算∠AKE時，又錯把∠AFC認為是x度，∠AFC+∠AFB = 180度-->x+x=180度，x=90度。你不過是把自己預設結論代入結果罷了。因為你一開始就假設角∠AFB=x度，∠AFC=x度，∠AFB+∠AFC=180度--->2x=180度，x當然等於90度，你算出來的不過是自己原本假設的結論，等於把自己左手的錢交給右手而已。 事實上，你的做法全錯，如果你稍有數學底子的話，你應該知道這種類型的題目若用角度代來代去，是解不出答案的。一開始設的變數x，不管用了幾個三角形去代換角度，變數是消不掉的，就像鬼打牆一樣轉不出來的，要用特殊的作圖法，才能解出答案。 至於為什麼設角度x，然後不斷代換角度，想找出一個一元一次方程式來解出x是不可行的原因乃在於∠ABD, ∠CBD,∠ACE,∠BCE若用不同的組合，你以為∠BAF都會是漂亮的數字嗎？不會!!! 只是剛好這題有特殊設計過，讓∠BAF剛好是30度，是漂亮的整數。若是∠ABD, ∠CBD,∠ACE,∠BCE是其它數字，∠BAF的角度值不會是那麼漂亮的數值，可能會是很醜的數字，甚至角度值可能是無理數。 用角度代換法，換得出來無理數的角度值嗎？當然不行！所以角度代換法不可行！
j7631103 Re: 證明垂直 2009-06-25 22:01 以西瓦的三角表示法就可以瞬秒了 (sin∠CAK/sin∠BAK)(sin∠BCE/sin∠ACE)(sin∠ABD/sin∠CBD)=1 =>(sin∠CAK/sin∠BAK)(sin∠70/sin∠10)(sin∠20/sin∠40)=1 注意到有∠CAK+∠BAK=40 所以在∠CAK=10,∠CAK=30成立=>AK射線垂直BC 如果∠CAK不等於10,就可以推得西瓦等式不成立,即矛盾!!
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bobogei81123
Re: 證明垂直
2009-03-02 23:37角AEC=180度-角ACE-角EAC=130度
角ADB=180度-角ABD-角EAC=120度
角AKE=角CKF=(180-70-X)度=(110-X)度
角AKD=角BKF=(180-40-X)度=(140-X)度
因為AEKD為四邊形
40+130+120+110-X+140-X=360
2X=180
X=90
即AK垂直BC
可能要畫個圖能看懂....
wetteland
Re: 證明垂直
2009-06-25 17:36∠AKE=∠CKF=(180-70-X)度=(110-X)度，從這裡就開始錯了，應該是∠AKE=∠CKF=[180-70-(180-x)]度=(x-70)度
你設∠AFB=x度，在算∠AKE時，又錯把∠AFC認為是x度，∠AFC+∠AFB = 180度-->x+x=180度，x=90度。你不過是把自己預設結論代入結果罷了。因為你一開始就假設角∠AFB=x度，∠AFC=x度，∠AFB+∠AFC=180度--->2x=180度，x當然等於90度，你算出來的不過是自己原本假設的結論，等於把自己左手的錢交給右手而已。
事實上，你的做法全錯，如果你稍有數學底子的話，你應該知道這種類型的題目若用角度代來代去，是解不出答案的。一開始設的變數x，不管用了幾個三角形去代換角度，變數是消不掉的，就像鬼打牆一樣轉不出來的，要用特殊的作圖法，才能解出答案。
至於為什麼設角度x，然後不斷代換角度，想找出一個一元一次方程式來解出x是不可行的原因乃在於∠ABD, ∠CBD,∠ACE,∠BCE若用不同的組合，你以為∠BAF都會是漂亮的數字嗎？不會!!! 只是剛好這題有特殊設計過，讓∠BAF剛好是30度，是漂亮的整數。若是∠ABD, ∠CBD,∠ACE,∠BCE是其它數字，∠BAF的角度值不會是那麼漂亮的數值，可能會是很醜的數字，甚至角度值可能是無理數。
用角度代換法，換得出來無理數的角度值嗎？當然不行！所以角度代換法不可行！
j7631103
Re: 證明垂直
2009-06-25 22:01(sin∠CAK/sin∠BAK)(sin∠BCE/sin∠ACE)(sin∠ABD/sin∠CBD)=1
=>(sin∠CAK/sin∠BAK)(sin∠70/sin∠10)(sin∠20/sin∠40)=1
注意到有∠CAK+∠BAK=40
所以在∠CAK=10,∠CAK=30成立=>AK射線垂直BC
如果∠CAK不等於10,就可以推得西瓦等式不成立,即矛盾!!