三角形ABC中，角ABC=120度，分別作角A、角B、角C的角平分線交對應邊於D，E，F。請問角DEF=幾度?


我畫了好多個三角形，還去下載了GPS，知道角DEF恆為90度，但就是說不出個理由來，懇請高手幫忙! :-? :-? :-? :-? :-? :-?
國中

回應

abc831128

2009-03-05 17:19
設內心為I 利用賽瓦定理
BF/FA*AE/BE=BD/DC*CE/BE

設角CED=r DEB=a BEF=b FEA=q
利用正玄定理

BF/FA*AE/BE=sinb/sinq=sina/sinr=BD/DC*CE/BE
......(1)
又由於ABE=EBC=60 再AB延長線取一點T
知D在ABE外角評分線上
且在BAE角平分線上
得D到AB的距離=D到AC的距離=D到BE的距離
可知角a=角r
所以tana=tanr 即sina/sinr=cosa/cosr........(2)
利用(1) (2)可知a+b=90=r+q

abc831128

2009-03-05 19:34
其實也不用那那麼複雜
由於ABE=EBC=60 再AB延長線取一點T
知D在ABE外角評分線上
且在BAE角平分線上
得D到AB的距離=D到AC的距離=D到BE的距離
可知角a=角r
同理b=q所以DEF=90