不懂
x^7=1,x=?
求所有的解(包括複數)
有七個解嗎?
如果有，它是代數式嗎？
學習討論區

回應

simon89889

2009-05-07 21:35
因為x^7=1的根是7次單位根
所以根的模為1
所以在複數平面上找出與原點距離1的七個點
從x=1開始以原點為中心順時針旋轉(360/7)度(sorry之前不小心打錯了...)
所得的七個點就是x^7=1的根
可以用三角函數式或尤拉式表示


因為會很亂所以用說明的
在網路上找可以找到它們的樣子
這是我的想法...

WENDYCHI

2009-05-08 18:18
引用：

simon89889 寫道:
所以在複數平面上找出與原點距離1的七個點
從x=1開始以原點為中心順時針旋轉(180/7度)
#應該是360/7吧?!
所得的七個點就是x^7=1的根
引用：


我知道這個方法，但有沒有根式表達的方法
這是我從代數學辭典上引發的問題，
它上面只有三~六次方的方法
x^3=1
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
當x-1=0時x=1
當x^2+x+1=0時x=(-1±i√3)/2
---
x^4=1
x^2=±1
x=±√±1(符號任取)
---
x^5=1
x^5-1=0
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
當x-1=0時x=1
當x^4+x^3+x^2+x+1=0時
x^2+x+1+1/x+1/(x^2)=0
x=(x+1/x)^2+(x+1/x)+1
x+1/x=(-1±√5)/2
x^2+(1±√5)x/2+1=0
x=(-1±√5±√(10+2i√5)
(符號任取)
---
x^6=1
x^3=±1
x=(±1±i√3)/2
---
推到六就結束了
不知七有沒有解法
三角函數式表上也沒有360/7

WENDYCHI

2009-05-11 16:54
我已經找到方法了，但很難算出來
x^7=1
x^7-1=0
(x-1)(x^6+x^5+...+x+1)=0
若x-1=0.，則x=1
若x^6+x^5+...+x+1=0，
則設x+1/x=y
x^3+x^2+x+1+1/x+1/(x^2)+1/(x^3)=0
x^3+1/(x^3)=y^3-3y
x^2+1/(x^2)=y^2-2
x^3+x^2+x+1+1/x+1/(x^2)+1/(x^3)
=y^3+y^2-2y-1 解三次方程
再解二次方程x^2-xy+1=0,得到六個根