我有一次算一個數學題，
得到C(n-m+1取m)-C(n-m-1取m-2)，
但是解答是(n/m)*C(n-m-1取m-1)......(好像是這樣吧)
檢查計算過程沒錯，代了幾個數字也符合，我也找不到解答的說明，這兩個式子真的相等嗎？ :-?
注‧m、n是正整數，m>2，n>m+1
高中

回應

j7631103

2009-08-17 14:49
事實上,如果我在競賽中碰到,幾乎會是直接爆開,雖然很沒意義,卻是幾乎一定能完成
解這題,我用了2個組合恆等式(自己證)
(1)C(m,n)=m/n*C(m-1,n-1)
(2)C(m-1,n-1)+C(m-1,n)=C(m,n)
所以欲證之等式為
C(n-m+1,m)-C(n-m-1,m-2)=n/m*C(n-m-1,m-1))
右式=>(n-m)/m*C(n-m-1,m-1))+C(n-m-1,m-1)
由(1)=>C(n-m,m)+C(n-m-1,m-1)
所以欲證=>C(n-m+1,m)=C(n-m-1,m-2)+C(n-m,m)+C(n-m-1,m-1)
由(2)=>C(n-m-1,m-2)+C(n-m-1,m-1)=C(n-m,m-1)
欲證=>C(n-m+1,m)=C(n-m,m-1)+C(n-m,m)
由(2)直接得證
所以得到命題