二次方和三次方合公式的導法

有一個漂亮的方法：
運用公式：1+2+...+N=N(N+1)/2；(A+B)^3=A^3+3A^2 B+3AB^2+B^3

令1^2+2^2+3^2+..;+N^2=S
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=3^3+3*3^2+3*3+1
直到
(N+1)^3=N^3+3*N^2+3*N+1
全部加起來得到
2^3+3^3+,,,+N^3+(N+1)^3
=(1^3+2^3+3^3+...+N^3)+3S+3(1+2+3+...+N)+N
即3S=(N+1)^3-3*N(N+1)/2-N-1
6S=2N^3+3N^2+N=N(N+1)(2N+1)
S=N(N+1)(2N+1)/6

三次方和公式可用類似方式
運用公式：
1+2+3+...+N=N(N+1)/2
1^2+2^2+3^2+...+N^2=N(N+1)(2N+1)/6
(A+B)^4=A^4+4*A^3 B+6A^2 B^2+4AB^3+B^4

之後還可以推出四次方和、五次方和、...、M次方和等

到四次方和為止，似乎也有圖示的證明方式，希望有找到的人能夠分享一下

k

http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1
這篇可以參考一下。


我覺得用數學歸納法也挺快的！但似乎是用來證明而無法無中生有。

引用：

wade1537 寫道:
http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1
這篇可以參考一下。


我覺得用數學歸納法也挺快的！但似乎是用來證明而無法無中生有。

網址內的方式都不錯
應該是發表者自己整理的
這問題解法不知到底有幾種了
太多了..........

引用：
http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1 這篇可以參考一下。 我覺得用數學歸納法也挺快的！但似乎是用來證明而無法無中生有。

這邊有一個類似數學歸納法的方法
不過可以直接算出公式
不用從下往上一個一個算
例如求五次方和
可令公式為f(n)=an^6+bn^5+cn^4+dn^3+en^2+fn+g(不過為什麼最高次數是6)
則f(n+1)-f(n)=(n+1)^5
將此式化簡得方程組如下：
6a=1
15a+5b=5
20a+10b+4c=10
15a+10b+6c+3d=10
6a+5b+4c+3d+2c=5
a+b+c+d+e+f=1
得a=1/6,b=1/2,c=5/12,d=0,e=-1/12,f=0,g=0
用此法也可得知k次方和的
第一項係數為1/(k+1)
第二項係數為1/2
第三項係數為k/12
第四項係數為0
第五項係數為-k(k-1)(k-2)/720
第六項係數為0

引用：

celine.yang06 寫道:

引用：
http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1 這篇可以參考一下。 我覺得用數學歸納法也挺快的！但似乎是用來證明而無法無中生有。

這邊有一個類似數學歸納法的方法
不過可以直接算出公式
不用從下往上一個一個算
例如求五次方和
可令公式為f(n)=an^6+bn^5+cn^4+dn^3+en^2+fn+g(不過為什麼最高次數是6)
則f(n+1)-f(n)=(n+1)^5
將此式化簡得方程組如下：
6a=1
15a+5b=5
20a+10b+4c=10
15a+10b+6c+3d=10
6a+5b+4c+3d+2c=5
a+b+c+d+e+f=1
得a=1/6,b=1/2,c=5/12,d=0,e=-1/12,f=0,g=0
用此法也可得知k次方和的
第一項係數為1/(k+1)
第二項係數為1/2
第三項係數為k/12
第四項係數為0
第五項係數為-k(k-1)(k-2)/720
第六項係數為0

這叫做待定係數法

引用：

celine.yang06 寫道:

引用：
http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1 這篇可以參考一下。 我覺得用數學歸納法也挺快的！但似乎是用來證明而無法無中生有。

這邊有一個類似數學歸納法的方法
不過可以直接算出公式
不用從下往上一個一個算
例如求五次方和
可令公式為f(n)=an^6+bn^5+cn^4+dn^3+en^2+fn+g(不過為什麼最高次數是6)
則f(n+1)-f(n)=(n+1)^5
將此式化簡得方程組如下：
6a=1
15a+5b=5
20a+10b+4c=10
15a+10b+6c+3d=10
6a+5b+4c+3d+2c=5
a+b+c+d+e+f=1
得a=1/6,b=1/2,c=5/12,d=0,e=-1/12,f=0,g=0
用此法也可得知k次方和的
第一項係數為1/(k+1)
第二項係數為1/2
第三項係數為k/12
第四項係數為0
第五項係數為-k(k-1)(k-2)/720
第六項係數為0

看不出如何化簡