3.設n為任意正整數，將 n+1、n+2 、n+3 、 ……、2n 中每一個數的最大的奇因數相加，試證所得之和為nxn 。（四分）
國中

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chf0523

2003-11-24 16:36
這題我用數學歸納法證明如下:

(1) 當 n=1 時, 2 的正奇因數和為 1=1^2 , 所以當 n=1 時原性質成立 ;

(2) 設 n=k 時原性質成立 , 則 k+1, k+2, ...... , 2k 的正奇因數和為 k^2 ;

(3) 當 n=k+1 時 ,

k+2, ...... , 2k , 2k+1, 2k+2 的正奇因數和

= 2k+2 , k+2, ...... , 2k , 2k+1 的正奇因數和 (將 2k+2 移到最前項)

= 2(k+1) , k+2, ...... , 2k , 2k+1 的正奇因數和

= k+1 , k+2, ...... , 2k , 2k+1 的正奇因數和 (沒有 2 倍不影響其正奇因數)

= (k+1, k+2, ...... , 2k 的正奇因數和) + (2k+1 的正奇因數)

= k^2 + 2k+1

=(k+1)^2

故由數學歸納法得證之.