1/1+1/4+1/9+1/16+1/25+.........(無窮級數求和)高中 回應 bobson860412 Re: 高一數列級數挑戰題 2009-10-11 21:54 pi^2/6 howard99664411 Re: 高一數列級數挑戰題 2009-10-14 00:19 答案正確 但請給出高中範圍內的算式(包括泰勒展開式) 請不要回答傅立葉級數和複變函數...等等大學公式 bobson860412 Re: 高一數列級數挑戰題 2009-10-15 18:27 http://www.chiuchang.org.tw/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=3282&forum=7 我自己是不知道啦 我才國一 bobson860412 Re: 高一數列級數挑戰題 2009-10-15 22:17 我看懂解法了 令sin(x)/x=0 則x的根為+-pi,+-2pi,+-3pi... 因此sin(x)/x=(1+(1/pi)x)(1-(1/pi)x)(1+(1/2pi)x)(1-(1/2pi)x)(1+(1/3pi)x)(1-(1/3pi)x)... =(1-x^2/(pi)^2)(1-x^2/(2pi)^2)(1-x^2/(3pi)^2)... 其中x^2的項的乘數為(-1/pi^2)(1/1+1/4+1/9...) 同時因為sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!... 因此sin(x)/x=1-(x^2)/3!+(x^4)/5!-(x^6)/7!... 其中x^2的項的乘數為-1/3!=-1/6 因此(-1/pi^2)(1/1+1/4+1/9...)=-1/6 1/1+1/4+1/9...=pi^2/6
bobson860412 Re: 高一數列級數挑戰題 2009-10-15 18:27 http://www.chiuchang.org.tw/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=3282&forum=7 我自己是不知道啦 我才國一
bobson860412 Re: 高一數列級數挑戰題 2009-10-15 22:17 我看懂解法了 令sin(x)/x=0 則x的根為+-pi,+-2pi,+-3pi... 因此sin(x)/x=(1+(1/pi)x)(1-(1/pi)x)(1+(1/2pi)x)(1-(1/2pi)x)(1+(1/3pi)x)(1-(1/3pi)x)... =(1-x^2/(pi)^2)(1-x^2/(2pi)^2)(1-x^2/(3pi)^2)... 其中x^2的項的乘數為(-1/pi^2)(1/1+1/4+1/9...) 同時因為sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!... 因此sin(x)/x=1-(x^2)/3!+(x^4)/5!-(x^6)/7!... 其中x^2的項的乘數為-1/3!=-1/6 因此(-1/pi^2)(1/1+1/4+1/9...)=-1/6 1/1+1/4+1/9...=pi^2/6
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bobson860412
Re: 高一數列級數挑戰題
2009-10-11 21:54howard99664411
Re: 高一數列級數挑戰題
2009-10-14 00:19但請給出高中範圍內的算式(包括泰勒展開式)
請不要回答傅立葉級數和複變函數...等等大學公式
bobson860412
Re: 高一數列級數挑戰題
2009-10-15 18:27我自己是不知道啦
我才國一
bobson860412
Re: 高一數列級數挑戰題
2009-10-15 22:17令sin(x)/x=0
則x的根為+-pi,+-2pi,+-3pi...
因此sin(x)/x=(1+(1/pi)x)(1-(1/pi)x)(1+(1/2pi)x)(1-(1/2pi)x)(1+(1/3pi)x)(1-(1/3pi)x)...
=(1-x^2/(pi)^2)(1-x^2/(2pi)^2)(1-x^2/(3pi)^2)...
其中x^2的項的乘數為(-1/pi^2)(1/1+1/4+1/9...)
同時因為sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!...
因此sin(x)/x=1-(x^2)/3!+(x^4)/5!-(x^6)/7!...
其中x^2的項的乘數為-1/3!=-1/6
因此(-1/pi^2)(1/1+1/4+1/9...)=-1/6
1/1+1/4+1/9...=pi^2/6