令 n 屬於 Z (正整數的範圍內)，其中 n 不等於1、3。證明 n 可被表為幾個 2 及 (或) 幾個 5 的和。

請問：假如是以數學歸納法的話，要如何證明？

P.S 假設 n=2b+5c 這樣的式子可以嗎？如果這樣可以的話，證明要怎麼寫比較好？還是有其他更好的寫法？

高中

回應

joey

2009-10-21 20:31
首先，正整數的集合可以用N表示

再來，很抱歉又要提供不是數學歸納法的解法，因為我想不到了

正整數n如果是偶數，那麼可以表示為數個2的和
n如果是奇數，因為n不是1或3，所以n至少為5
所以n可以表示為一個5和數個(或沒有)2的和

也就是
偶數：n=2+2+2+...
奇數：n=5+2+2+...

colfulus

2009-10-22 21:28
要用數學歸納法的話：
2 = 2
4 = 2 + 2
5 = 5
之後，設n=2b+5c
若c>0則(n+1)=2(b+3)+5(c-1)
(5 -> 2 2 2)
若不然，b>1則(n+1)=2(b-2)+5(c+1)
(2 2 -> 5)

不過跟樓上的做法比，應該還是比較麻煩
如果數字大一些(n=3b+5c)才可能比較實用
(5 -> 3 3)
(3 3 3 -> 5 5)

joey

2009-10-27 20:54
這個我有聽過！
用兩種(或更多)種硬幣(換作紙鈔也是相同的意思)，
找出所有可能正好付清，不需找零的價格

jason12715

2009-10-30 07:09
n = 2 , 成立
n = 4 = 2+2 , 成立
n = 5 , 成立

假設 n = 2, 4, 5, ..., k - 1, k 皆成立 , 其中 k ≧ 5

則 n = k + 1 時 , k + 1 = (k - 1) + 2
因為 k - 1≧4 , 可被寫成 2 和 5 的和 ( 根據假設 )
所以 k + 1 = (k - 1) + 2 ,可被寫成 2 和 5 的和

因此由數學歸納法可得出 n = 2, 4, 5, ...皆成立