在平面上有一條直線，
在直線的同一側有任意兩點，
求做一個圓形，使得此圓通過兩點，並與直線相切
國中

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myfund168

2009-11-17 00:10
引用：

kelvin2005s 寫道:
在平面上有一條直線L，
在直線的同一側有任意兩點A，B，
求做一個圓形，使得此圓通過兩點，並與直線相切

作A，B兩點的中垂線M，交直線L於C；
過B作直線M的平行線N，交直線L於D；
作角BDC的角平分線P，交直線M於Q；
點Q便是這個圓形的圓心。

抱歉，以上想錯了。

rock101980

2009-11-17 18:15
某善心人士提供了以下方法：
直線L與AB兩點連線平行時，做AB中垂線交L於第三點即可
不平行時，設AB連線延長與L交於C點，欲得之圓與L切於D點。則有AC*BC=CD^2。故可藉由以AC為直徑做圓(假設AC>BC)，過B做AC的垂線交該圓於E，則BE=CD，由此可得D點，最後畫過ABD三點的圓即為所求

kelvin2005s

2009-11-17 18:49
感謝你提供解法！但是
「故可藉由以AC為直徑做圓(假設AC>BC)，過B做AC的垂線交該圓於E，則BE=CD」
這裡好像有點怪怪的，
這樣求出的BE應該是根號CB*BA，不是根號AC*BC。
這裡應該要以AB為直徑作圓，再過C點做此圓的切線CF，CF才是根號AC*BC。
此外，找直線L上的切點時，可由C的左右兩側畫出兩個切點，所以有兩個解。


rock101980

2009-11-17 23:10
抱歉，出了點小錯
「故可藉由以AC為直徑做圓(假設AC>BC)，過B做AC的垂線交該圓於E，則BE=CD」
更正為在AC延長線上與B在C的異側取點F使得CF=BC
再以AF為直徑畫圓，過C點做AF的垂線交該圓於G，
則CG=CD，D點可在C的任一側

另外"這裡應該要以AB為直徑作圓，再過C點做此圓的切線CF，CF才是根號AC*BC。"
AB不必是直徑亦可成立，可以由相似形得證
(如果AB不為直徑，亦有角ACF=角FCB，角CAF=角CFB，則ACF與FCB相似，即有AC:CF=CF:BC)

小Y

2009-11-21 21:30
1. 若AB平行L,則連AB,作AB中垂線交L於P,作三角形ABP之外接圓即為所求----證明略

2. 若AB不平行L,
一. 連直線AB交L於P
二. 作任意包含線段AB為弦之圓X,但圓X不與L相交 (就是圓X不要作得太大)
三. 作P至圓X之切線段PQ
四. 在L上取壹點R,使得PR=PQ,R在X關於直線AB的異側
五. 作三角形ABR之外接圓Y,即為所求 (這個圓心Y可以用AB中垂線和過R的垂直線交點獲得)

證明:
1. PQ為圓X之切線,A-B-P為圓X之割線,由切割線段性質有: PQ平方=PA*PB
2. 但PQ=PR,所以PR平方=PA*PB
3. 可知PR為圓Y切線,且A-B-P為圓Y之割線,由切割線段性質得證