環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題

(a) 證明 : 四邊形ABCD的面積不大於2。
1.
若分別以正方形四邊為斜邊向外作直角三角形,
則其四個直角頂 A,B,C,D 必落在分別以正方形四邊為直徑的圓上
2.
取正方形之中心點 O ,
則四邊形ABCD=△AOB+△BOC+△COD+△DOA
= ½ (OA)(OB) sin∠AOB +½ (OB)(OC) sin∠BOC
+½ (OC)(OD) sin∠COD + ½ (OD)(OA) sin∠AOD
≦ ½ (1)(1) sin90°+½ (1)(1) sin90°
+½ (1)(1) sin90°+½ (1)(1) sin90°
(因為當A,B,C,D 分別在外圓周中心點時才能使 OA,OB,OC,OD 有最大值 1)
= 4 (½) (1)(1) sin90°
= 2

第2小題：
O₁,O₂,O₃,O₄ 4個點都在:
以正方形中心點O為圓心，對角線長一半(1/根號2)為半徑的圓上,
(因為角PO₁Q=135度，其中 P Q 是正方形兩頂點)
所以，四邊形面積=
0.5*(1/根號2)^2*(sin O₁OO₂
+sin O₂OO₃
sin O₃OO₄
sin O₄OO₁)
&lt=
0.5*0.5*(1+1+1+1)=1.