8. Leonardo生在Pisa是Bonacci的兒子，大家稱他Fibonacci(斐波那契)。他以兔子問題聞名於世，事實上，這個問題只佔他著名的著作「Liber Abaci (計算書)」中的半頁篇幅而已，此書在算術的地位與歐幾里得的「原本」齊名。
以下問題是Liber Abaci第十三章內的一個題目，試求出其解答。
第一個人與第二個人對第三個人與第四個人說：「如果將你們所有錢的1/3給我們，則我們兩人總共的錢恰好可購買一匹馬。」
第二個人與第三個人對第四個人與第五個人說：「如果將你們所有錢的1/4，給我們，則我們兩人總共的錢恰好可購買一匹馬。」
第三個人與第四個人對第五個人與第一個人說：「如果將你們所有錢的1/5，給我們，則我們兩人總共的錢恰好可購買一匹馬。」
第四個人與第五個人對第一個人與第二個人說：「如果將你們所有錢的1/6，給我們，則我們兩人總共的錢恰好可購買一匹馬。」
第五個人與第一個人對第二個人與第三個人說：「如果將你們所有錢的1/7，給我們，則我們兩人總共的錢恰好可購買一匹馬。」
請問每匹馬值多少錢？他們各有多少錢？(假設這五個人的錢數都是正整數且馬匹的價格是少於5000元的正整數。)
國中

回應

WENDYCHI

2009-12-04 22:04
3a+3b+c+d=3k
4b+4c+d+e=4k
5c+5d+e+a=5k
6d+6e+a+b=6k
7e+7a+b+c=7k

○●○●○●○●○●○
●○●○●○●○●○●
○●○●○●○●○●○
●○●○●○●○●○●

○○○●●●●○○○
○○●○○○○●○○
○○●○○○○●○○
○○○○○○●○○○
○○○○○●○○○○
○○○○○●○○○○
○○○○○●○○○○
○○○○○○○○○○
○○○○○●○○○○

有比我的「整死你」一篇難嗎??

WENDYCHI

2009-12-05 18:05
令a+b=A,b+c=B,c+d=C,d+e=D,e+a=E
= =
3A+C=3k
4B+D=4k
5C+E=5k
6D+A=6k
7E+B=7k
^ ^
A=6(k-D)
B=7(k-E)
C=3(k-A)
D=4(k-B)
E=5(k-C)
$ $
A=6(k-4(k-7(k-5(k-3(k-A)))))
A=6k-24(k-7(k-5(k-3(k-A))))
A=6k-24k+168(k-5(k-3(k-A)))
A=6k-24k+168k-840(k-3(k-A))
A=6k-24k+168k-840k+2520(k-A)
A=6k-24k+168k-840k+2520k-2520A
2521A=1830k
－　－
淚...
剩下交給你們了

leierhuang

2009-12-18 23:23
我設第一人a元 第二人b元 第三人c元 第四人d元 第五人e元

c+d=3j
d+e=4k
e+a=5m
a+b=6n
b+c=7p

解一解可以把j;k;m;n;p求出來
代回去解a b c d e
可是我解出來和老師給的解答不一樣耶只有馬的價錢是對的
代進去好像沒有錯呀....

孫文先

2009-12-19 19:36
您還是紙上談兵，實際列出式子看看。
做完驗算看看就知道對不對。
它雖然只是五元一次方程，但要有很扎實的代數功夫。
斐波那契的計算書中有很多類似的問題。

leierhuang

2009-12-25 23:54
阿...十分抱歉...
我現在就打出來
另外我發現是我計算錯誤
不好意思呀....
=======================
我令第一人有a元 第二人有b元 第三人有c元 第四人有d元 第五人有e元
因為第三人和第四人錢的三分之一可以和第一人和第二人的錢湊成一匹馬的價錢
所以我令c+d=3j
以此類推可列出

c+d=3j
d+e=4k
e+a=5l
a+b=6m
b+c=7n

又依題意可得

a+b+j=b+c+k=c+d+l=d+e+m=e+a+n

代入可得

6m+j=7n+k=3j+l=4k+m=5l+n

接下來就剩一大串運算...(累)

6n+k=5l
5m+j=4k
3k+m=7n
4l+n=3j
2j+l=6m

15l-18n=7n-m
25n-15l=m
150n-90l=2j+l

2j=150n-91l
3j=n+4l
450n-273l=2n+8l
n=281l/448

1686l/448 +k=5l
k=554l/448

831l/224 +m=1967l/448
m=305l/448

2j+l=1830l/448
j=691l/448

j:k:l:m:n=691:554:448:305:281

令j=691x,k=554x,l=448x,m=305x,n=281x
當x=2時
此時馬價=6m+j=3660+1382=5042>5000不合

故x必為1
此時馬價=6m+j=1830+691=2521
c+d=3j=2073
d+e=4k=2216
e+a=5l=2240
a+b=6m=1830
b+c=7n=1967
a+b+c+d+e=5163
解得a=980,b=850,c=1117,d=956,e=1260


馬價2521元,第一人有980元,第二人有850元
第三人有1117元,第四人有956元,第五人有1260元
================================
全部的過程是這樣
希望不要再出錯了.....

孫文先

2009-12-26 16:31
您沒處理好變數才會算得這麼累。

令每匹馬值H元、第一個人至第五個人分別有 a、 b、 c、 d、e 元，則可得
H=a+b+1/3(c+d)
H=b+c+1/4(d+e)
H=c+d+1/5(e+a)
H=d+e+1/6(a+b)
H=e+a+1/7(b+c)
化簡可得
c+d=3H - 3(a+b)
d+e=4H - 4(b+c)
e+a=5H - 5(c+d)
a+b=6H - 6(d+e)
b+c=7H - 7(e+a)

因此有
a+b=6H - 6(d+e)=6H - 6(4H - 4(b+c))= -18H+24(7H - 7(e+a))=150H - 168(5H - 5(c+d))= - 690H+840(3H - 3(a+b))=1830H-2520(a+b)

故2521(a+b)=1830H。
因這五個人的錢數都是正整數且馬匹的價格是少於5000元的正整數，且a 、 b、 c、d 、e 都是正整數；再因2521為質數，故H=2521且 a+b=1830。
因此 c+d=2073、 e+a=2240、b+c=1967 、d+e=2216 。
故知 a+b+c+d+e=5163。
所以
a=5163-(b+c)-(d+e)=980
b=5163-(c+d)-(e+a)=850
c=5163-(d+e)-(a+b)=1117
d=5163-(e+a)-(b+c)=956
e=5163-(a+b)-(c+d)=1260

答: 第一個人至第五個人依序有980、850、1117、956、1260元而每匹馬價值2521元