11. 我們可以將2009表示為幾個不同的正整數之和，且每個正整數都是由同一個數碼構成且至少是兩位數，例如：2009=1111+777+88+33。若將9002用此方式表示，則至少需要用多少個整數？
國中

回應

colfulus

2009-12-04 22:41
10個
例如9*999 + 11

可用的數都是形如aa, aaa, aaaa的數
考慮mod 100
aa == aaa == aaaa == 11*a (mod 100)
11^-1 == 91 mod 100
11*(a的和) == 9002 mod 100
(a的和) == 2 * 91 == 82 mod 100
而82 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1
每個數的a最大是9
所以至少10個數

davidlin

2009-12-06 21:19
由於11111>9002，所以只能用連續4、3、2個相同數字。
又因 11∣1111×k，11∣11×k，只有111不被11整除。
因數字全不同，所以11、22、…、99最大和為495，
因數字全不同，所以111、222、…、999最大和為4995，
因9002≡4（mod11），111≡1（mod11），
所以至少為444，每次多加要1221，所以最大為4107。

當使用8888時：剩114＜444（×）
當使用7777時：剩1225＜1665，1225－444＞495（×）
當使用6666時：剩2336＜2886，2336－1665＞495（×）
當使用5555時：剩3447＜4107，3447－2886＞495（×）
當使用4444時：剩4558，4558－4107＜495，
4107÷111＝37=9＋8＋7＋6＋5＋2為最好值。
451÷11＝41＝9＋8＋7＋6＋5＋4＋2為最好值。
用4444、999、888、777、666、555、222、99、88、77、66、55、44、22 即可
當使用3333、2222、1111時：剩5669以上，減4107＞495（×）

所以至少用14個。

lochihsin

2010-02-19 21:52
1111=101x11
設9002=11a+111b
(a,b)之正整數解有(778,4),(667,15),(556,26),(445,37),(334,48),(223,59),(112,70),(1,81)
其中(334,48),(223,59),(112,70),(1,81)都不符合因為
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(題目給條件相異)
一(778,4) 778=707+71 (x)
二(667,15) 667=606+61 (x)
三(556,26) 556=505+51 (x)
四(445,37) 445=404+41=404+9+8+7+6+5+4+2
37=9+8+7+6+5+2
9002=4444+99+88+77+66+55+44+22+999+888+777+666+555+222