2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

3.令a+b^2=2^k a^2+b=2^t
由於a大於等於1 b大於等於1
所以k大於等於1 t大於等於1
令b大於a，即k大於t
則(a+b^2)-(a^2+b)
=(b^2-a^2)-(b-a)
=(b+a)(b-a)-(b-a)
=(b+a-1)(b-a)
=2^k-2^t=2^t(2^(k-t)-1)
由於2|(a+b^2)
所以a,b同奇偶
所以(b+a-1)為奇數(b-a)為偶數
所以(2^t)|(b-a)
即(a^2+b)|(b-a)
但是a^2+b大於等於a+b大於b-a(不符)
所以k不大於t，同理k不小於t
若k=t，即b=a，則(a+a^2)(a^2+a)=2^m
因此a(a+1)=2^(m/2)
由於a,a+1不同奇偶
所以a,a+1之中有一個1
因此a=1 b=1
A:只有一組 {a=1 b=1
我恨第七題

5.(a)可分別就兩者之值考慮，並令N+1=a^2，取走質量為1~a克的砝碼，如此可解得兩者均為a(a+1)/2，得證。
但同一題的(b)小題，該從何處著手?
另外，第4題應該要如何解(有人說用座標解)？

5.(b)先假設取走其中a個砝碼時滿足題設
再設M=a個砝碼的總值量=剩下(N-a)個砝碼的平均質量，則全部砝碼的質量=M(N-a+1)=N(N+1)/2
即2M(N-a+1)=N(N+1)大於N^2+N-a^2+a=
(N-a+1)(N+a)得到2M大於N+a
另外剩下(N-a)個砝碼的平均質量的最大值=(N+a+1)/2即2M小於或等於N+a+1推得2M=N+a+1
且取走的砝碼分別為1克，2克，...，a克
所以M=(N+a+1)/2=a(a+1)/2即N+1=a^2
4.我一開始做不出來不過用座標就解出來了
6.將方格表分成數個n*n的正方形，在每個正方形同一位置的小方格上分別標上1，2，...，n^2，然後證明至少各有一個標有1，2，...，n^2的小方格上放置了奇數個紙板即得

第4題用坐標很快就可以算出來了
設兩戶相垂直對角線為x y軸
再證明apq重y心作標為0即可

4. 在菱形ABCD的BC、CD邊上分別取P、Q兩點，使得BP=CQ。請證明三角形APQ的重心落在線段BD上。（六分）


好多難題阿!幸好這題讓我喘喘氣...
(我還沒正式學過幾何 所以證明可能寫得不正統而且亂七八糟 有疑問請提出來讓我解釋)
我想座標比較好解釋


三角形的重心座標是三頂點座標相加除以三
即X.Y座標的算術平均數

因A和P.Q在BD延長線異側(P.Q同側)
只要證明
Q到BD的垂直距離+P到BD的垂直距離=A到BD的垂直距離

設:
P到BD的垂直距離=a
A到BD的垂直距離=b
Q到BD的垂直距離+P到BD的垂直距離=
a+(b-a)=b=A到BD的垂直距離

因此A.P.Q座標相加除以3時
到BD的距離就會是0了
也就是在BD上

另外 第七題好難!有點抽象 不知道該從哪裡想起

引用：

lochihsin 寫道:
另外 第七題好難!有點抽象 不知道該從哪裡想起

同意
而且至少有一半的人誤解了
倒覺得跟圖色法有關

─作答過程與感想─
1.第一次看了，沒啥感覺。第二次看了，突然想到昨天臨時報佛腳寫的類題。之後就輕輕鬆鬆的解決了。
過程如下：把十杯牛奶依牛奶容量排列，假設第二少的比最少的多了L的量，就從有第二少牛奶的容器中倒出9/10L，之後第二少的就會跟最少的那杯等量。之後假設第三少的比那兩杯多出M，就倒出9/10M，之後第二少和最少的就會跟第三少的一樣多。依此類推，九次就可以完畢了。
只有四分，不過算是很簡單的一題。ahaha...(順帶一提，因為只有四分，所以我拖了幾乎一個小時才寫)
2.用數學歸納法。
證：n*n*n的正方體擺完之後都會有至少一面同顏色。
(題目給10*10*10，只要證完以上，單一特例不成問題)
1.n=1，顯然成立。
2.假設n*n*n的正方體可以成立。在假設那面是白色的，並且面向自己。
3.討論(n+1)*(n+1)*(n+1)的情況
那面全白的面，如果在外擴增的一層又都是白色的，原命題成立。
因此，給最左上角的不同顏色(設紅色)。
紅方塊與白方塊中間的交介面不是紅色和白色，故必為藍色。
因為方塊對面和交介面顏色相同，把表面剝下來之後，第二層一樣是一片的白色，最左上角是紅色，因此其交介面亦為白色。同理可得最上層之最左排都是藍色。
觀察第二排的白色方塊，按照上面的結論，上方為藍色，因此右方為紅色。因為方塊對面和交介面顏色相同，故那第二排整排方塊右方都是紅色的，正面又都是白色的，因此上方都是藍色的。
由以上可證明。
其實我考試時寫的更複雜，也想了很久。那時四五六七題都定案了，寫的東西愈來愈多，老實說，很多次不想寫。(不過後來還是寫完了)
3.我那時只算出a=1跟b=1，沒有證明沒有其他解。覺得：比第二題更難，雖然第一次看的時候以為很簡單。沒有做法了，看上面吧。
4.幾何題啊...(本人最不擅長幾何題的說...)，以為很難，不過圖畫完之後就知道這是送分的了(15分鐘結束，6分就這樣到手了)。做法跟上面網友說的差不多，就不多說了。
5.第一題可以秒殺，可是第二題就...開始下筆時也沒什麼把握，寫的天昏地暗，竟然完成了，連自己也不敢相信。
後來我是用整除的概念去做的。先設法碼數量在a^2和(a+1)^2之間，證明拿的法碼數不超過a個，然後就可以列式。我後來用輾轉相除法找出最大公因數最大值，之後相乘解方程。不過因為太麻煩了，加上上面就有解法，我就不在多寫了。(老實說，如果可以直接貼公式的話比較容易看的懂，像word或openoffice都有這種功能。不過打公式其實對打的人來說很麻煩。)
6.解法同網友所述，想了一段時間，後來想到去台北數學營時做的類似題目，才恍然大悟。(專屬於我們的秘密。那位姓林的啊，有看到的話打個招呼回應一下吧。)
7.果然是14分的題目，只有一個字：難！
不過請不要完全交白卷。環球城市盃的評分標準，相信大家應該大略知道的：有講到某些重點，就會有一定的分數。因為有14分，即使只有拿到3/7，也跟2、3、4題等價了。(不過現在後悔也來不及了...)
題目一開始看我是很沒感覺，因為太複雜了，連城市路線都不給我們，要找必勝策略？不可能一個一個列啊，有2009個ㄟ！(眾人：廢話！)
因為很多人不知道題意，所以我先稍微講解一下：
假設有A、B、C、D、E五個島。咦，不是有2009個嗎？是的，不過因為講解方便，先講五個。接者假設A島和B島有船往來，B和C有船往來，D和E有船往來。
A先開始，假設他選擇D島登陸，接者輪到B，他搭船到E島，接著又輪到A，此時DE兩島都去過不可以再去，但也沒有船可以從E島接到ABC島，因此A敗。(眾人：A是白痴吧？)
現在島變成了2009個了，太多了不可能一一排出來。
我一開始想法如下：像剛才的例子，ABC相連通，D和E相連通。至於ABC這一群跟DE這一群是完全無法流通的。因此，我稱ABC是一個「島群」，DE是一個「島群」。
2009個島，假設分成了數個島群，其中至少有一個島群有奇數個島。
個人認為這有很大的關係。假設一個島群有偶數個島，那麼最簡單的形式就是只有2個島，A選一個，B走另一個，A就輸了。題目安排2009是個奇數，想必跟這有很大的關係。
接下來要證明的一定就是讓A適當登入有奇數個島的島群中的其中一個島，可以必勝。
之後就隨便證明了...(應該不可能拿14分，不過我想最慘應該有2分吧！)
我先證明這些島全部是單向(第一個島跟第二個島連接、第二個島跟第三個島連接、第三個島跟第四個島連接，依此類推)時A必勝，這個超容易證明。
再證明放射狀(有數個島跟A島連接，之後每個島都分別為起點，做出一個單向的連接。任兩個單向的連接中間不會有連接)也可以達成目標。這裡就稍微麻煩了一點，不過要隨時注意島的總數是奇數。
接下來證明隨便連兩個島A一樣必勝。
這個證明過程我不甚滿意，因為連我自己都可以找到問題：我在證明「隨便連兩個島A一樣必勝。」時都只做一條連線。會不會萬一很多條同時連線時A就不再必勝了？不過也沒辦法，我也沒想出更好的方法了。
期待有賢者看完之後有靈感，可以接下去。
─完─

關於第7題
我的想法是：
我們只要挑4個島分別為a島、b島、c島、d島，而剩下的2005個島為孤島。
a島可到b島，a島可到c島，a島可到d島。而剩下所有島都無法連結。
如此一來只要A一開始在a島登陸，遊戲結束？

回harry841129:
題目的要求是「無論交通路線如何」，因此不可以假定交通路線。

題目說：

引用：

請證明無論這些小島間船運的路線系統如何，也無論B如何應對，A永遠有數學策略可以獲勝。

新想法：不可能！？
如果分為兩種群島1：奇數個群島
　　　　　　　 2：偶數個群島
只要A挑選登陸的群島不是擁有最多島嶼的群島，那一定輸；又就算A挑選的是最多的群島，無論是奇數個或是偶數個都會輸，那......不就沒方法了嗎？

考慮這個有奇數個島的島群，將其中一些交通船以虛線表示"使虛線數達到最大"，且每個島最多連一條虛線，由於這個島群有奇數個島，所以至少有一個島沒連到虛線，A就從這個島開始遊戲，然後說明B只能走非虛線的交通船而且他只會走到有虛線的島上，而A能透過虛線再到另一個島，就證明了A必勝

那不就又限定了它的路線系統？（似乎我是不能了解vic526tor的意思？）

只要想出一種方法可以使Ｂ贏得比賽，那題目就不成立？

可是我隨意想想都可以想出好幾種耶！（難道都錯了！？）

各位高手們，如果你是遊戲中的Ｂ，而你可以自己設定路線系統（設定後不能更改）。遊戲開始後，不管Ａ選在哪裡登陸，你覺得你不能贏嗎？

我知道Ａ一定會選擇最好的地方，但是Ｂ他完全無法應付嗎？

引用：

harry841129 寫道:
那不就又限定了它的路線系統？（似乎我是不能了解vic526tor的意思？）

只要想出一種方法可以使Ｂ贏得比賽，那題目就不成立？

可是我隨意想想都可以想出好幾種耶！（難道都錯了！？）

各位高手們，如果你是遊戲中的Ｂ，而你可以自己設定路線系統（設定後不能更改）。遊戲開始後，不管Ａ選在哪裡登陸，你覺得你不能贏嗎？

我知道Ａ一定會選擇最好的地方，但是Ｂ他完全無法應付嗎？

沒關係慢慢來
會出這個題目就一定有解
也許你題目弄錯了
把題目搞懂就好辦了
我覺得題目是說AB是一起旅行的
然後B選怎麼走，A選怎麼走...
-
大約有90%的人都弄錯題意了
陳柏恩好像有解法

To harry841129:
我覺得您可能有以下問題：
1.您所選的島群有偶數個島：那就不用玩了！
2.A沒有選到最好的島：那也有可能B勝。
3.A雖然有選到最好的島，但其中一個走法有問題：也有可能導致B勝！
在嚐試階段時用的島一定不會很多，遵守上面三個應該就沒問題。

以下證明B只能走非虛線的交通船而且他只會走到有虛線的島上
當A如同我假設的選擇了沒有連到虛線的島a1著陸時，若B能繼續遊戲則他只能是走非虛線的交通船(因為A選擇的那個島沒有連到虛線)
至此有兩種情況
(1)B到了一個連有虛線的島a2，則A可透過虛線到達另一個島a3，而當他們到達a3時，B若有辦法繼續遊戲，則他只能是走非虛線的交通船(因為那個島唯一虛線的交通船被A走了)，如此一來就證明了當B總是到了一個連有虛線的島時A必勝(因為A總有辦法透過虛線繼續遊戲)
(2)假設在一連串的遊戲過後，B能到達一個沒有連到虛線的島上，則我們證明不可能，舉個例子說當A在a1著陸，B由非虛線的交通船到達a2(a2連有虛線)，而A透過虛線到達a3，假設B由非虛線的交通船到達a4且a4沒有連到虛線，由於a1a2、a3a4非虛線，且a2a3是虛線，若我們將a1a2、a3a4換成虛線並把a2a3換成非虛線(由於a1和a4原本沒有連到虛線所以這樣換過以後依然滿足我們所設定的條件)，則虛線數比原本多了一條(由一條變兩條)，這與我們最初假設虛線數達到最大矛盾，所以不可能。同理可證明，B在任何情況下都不可能走到一個沒有連到虛線的島上，即B只會走到有虛線的島上
註:我的証明中A和B是一起旅遊，他們一起到達a1，一起到達a2，一起到達a3...只是A和B輪流決定下一次要去哪個島

能不能請版主老師來解釋一下第7題的意思呢?

如果是2人同行的話那我就瞭解了!

但如果是我原本的想法------分開旅行,,,,,是否有解法呢?

看來必須是同行才有答案~~~~~~

To vic526tor:
你必須證明，那個島群可以被連上虛線，達成你的要求。
不過，如果有五個島，A連B、A連C、A連D、A連E
就沒辦法這樣連線了。

To b8412061:
如果有五個島，A連B、A連C、A連D、A連E
則將A連B的交通船改為虛線(最多只能連一條虛線)
A在C、D、E三個島上開始遊戲都必勝
我最初假設把交通船改為虛線時，是要求讓虛線數達到最大，而並沒有要求要連出多少虛線和剩下幾個島沒有連到虛線，因此任何情況都能被連上虛線滿足我的要求

To:harry841129
如果是分開旅行的話
當a1和a2有交通船，a3和a4有交通船，a5、a6、...、a2009都是孤島(即沒有任何交通船)時
顯然A必敗，所以分開旅行時A沒有必勝策略