2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

1. 一百位海盜玩牌賭錢，當牌局結束後，他們用金沙來償還賭債，每位海盜都有足夠的金沙來支付賭債。海盜之間只允許用以下的方式來收付金沙：
(a) 向所有其它海盜支付相等數量的金沙；
(b) 向所有其它的海盜收取相等數量的金沙。
請證明經過有限次上述方式收付款後，每位贏錢的海盜都可以準確地收到他應收的款項、每位輸錢的海盜都可以準確地支付他應付的款項。（四分）
2. 將一個非正方形的矩形紙板切為N片矩形（不一定要全等）。請證明我們恆有辦法將這N片矩形每片都切為兩小片矩形，從每個矩形中各挑選一小片使得這N片恰可以拼成一個正方形、挑選剩下的N片也可以拼成另一個矩形(紙版不可以互相重疊)。（六分）
3. 有一個圓球與一個四面體的每條稜都相切，用直線連接任兩個不相鄰的稜上之切點。請證明這三條直線共點。（七分）
4. 用記號[n]!表示[n]! = 1 * 11 * 111 * ... * 111...1 （有n個1，共有n個數相乘）。請證明 [n+m]! 可被 [n]!×[m]! 整除。（九分）
5. 在三角形XYZ與凸六邊形ABCDEF中，線段AB、CD、EF分別平行且相等於線段XY、YZ、ZX。請證明以BC、DE、FA邊的中點為頂點的三角形之面積不小於三角形XYZ的面積。（九分）
6. A與B兩人打算一起去有2009個小島的列島旅遊。小島間的交通只能依靠船舶相連，有些小島之間具有往返的交通船，有些則無。A和B兩人進行以下遊戲：任何小島不可以造訪二次或二次以上，由A先選擇一個小島著陸，接著由B選擇到一個未曾造訪過的小島旅遊，依此規則兩人輪流選擇。無法再繼續符合遊戲規則的行程(沒有小島可選擇或無交通船可從當時所在的小島通往所選擇的小島)者為輸方。請證明無論這些小島間船運的路線系統如何，也無論B如何應對，A永遠有數學策略可以獲勝。（十二分）
7. 阿里巴巴寶庫的山洞入口有一圓形轉盤，它是開啟山洞門的機關。轉盤的圓周上有N個完全相同的桶子，任何相鄰桶子的距離都相等。在每一個桶子內各放置有一隻頭朝上或頭朝下的青魚。阿里巴巴每次操作都可以選擇任何位置、任何數量的桶子(數量從1個到N個)全部上下翻轉。當每次操作結束，圓盤立即開始轉動，如果所有桶內的青魚頭全部朝上或全部朝下，則山洞門就會打開。否則當圓盤停止轉動後，任何人都無法再辨認哪些桶子曾被翻轉過。無論這些青魚如何擺置，若阿里巴巴必有數學策略保證可以打開山洞門，請問所有可能的N值是什麼？（十四分）