23.設90!乘開後最後不為0的兩個數字所形成的二位數為n.試問n為下列哪一個數?

(A) 12 (B) 32 (C) 48 (D) 52 (E) 68


25.如果一個四邊形可由另一個四邊形經過旋轉與平移而得到，則這兩個四邊形視為相同.試問有多少個不同的圓內接凸四邊形它們的邊長都是整數且周長等於32?

(A) 560 (B) 564 (C) 568 (D) 1498 (E) 2255
高中

回應

Quarterback

2010-03-14 20:29
23.

給你一個提示....將1~90除了尾數是5和0的分成9組
1~10一組, 11~20一組, 21~30一組...

注意到(10a+1)(10a+2)(10a+3)(10a+4)(10a+6)(10a+7)(10a+8)(10a+9) = (1)(9) (2)(8) (3)(7) (4)(6) = 9x16x21x24
=76 (mod100) (以上等號均代表同餘)

而76的k次方(k為自然數)均等於76(mod100)

於是1~90除了尾數是5和0的所有數相乘尾數=76

剩下的很簡單了...自己想吧~

charlie1992

2010-03-17 01:08
1~90除了尾數是5和0的所有數相乘尾數=76
剩下的5,15,25...85
10,20.....90看成1,2...9
18個數中可提出12個5的倍數,7個2的倍數,差5個2的倍數,所以將1*2*3*4*6*7*8*9還原,再把26個數中的所有5提出來和2湊成10,剩下的相乘變(1*3*1*7*9*11*
13*3*17)*(1*1*3*1*1*3*7*1*9)*(1*1*3*1*3*7*4*9)=
12(mod100)
12*76=12(mod100)

B88000005

2010-03-17 22:24
懂了...謝謝^^"

如果可以的話也解釋一下幾個開放區間的那題...

我把題目不知道丟哪去了= =...

我AIME也有好多題想問...

像是第5題...

2010=A1*10^3+A2*10^2+A1*10^1+A0
0≦Ai＜100
共有幾種表示方法?

myfund168

2010-03-18 11:49
Quarterback說：
(10a+1)(10a+2)(10a+3)(10a+4)(10a+6)(10a+7)(10a+8)(10a+9)
≡ (1)(9)(2)(8)(3)(7)(4)(6)
≡ 9x16x21x24
≡ 76 (mod100)
請問為什麼 (10a+2) ≡ 9 (mod100) ？
而 (mod100)： 為什麼(1)(9)(2)(8)(3)(7)(4)(6) 這些數只取一位，而不是二位？

charlie1992 說：
剩下的5,15,25...85
10,20.....90看成1,2...9
18個數中可提出 12個5的倍數, 7個2的倍數,差5個2的倍數,
這兩個數，對嗎？


Quarterback

2010-03-18 17:48
回myfund168：

之前打的東西有點小疏忽...抱歉 以下是更正過的&完整證明：

(10a+1)(10a+2)(10a+3)(10a+4)(10a+6)(10a+7)(10a+8)(10a+9)
=(10a+1)(10a+9)(10a+2)(10a+8)(10a+3)(10a+7)(10a+4)(10a+6)...........交換律
=[100(a^2)+100a+9][100(a^2)+100a+16][100(a^2)+100a+21][100(a^2)+100a+24].......兩兩相乘得之
=(9)(16)(21)(24)
=(144)(504)
=44x4=76(mod 100)


剩下5,10,15...,90

分成A組 5,15,25...,85 and B組 10,20,...,90

其中A組 => 5^11x1x3x7x9x11x13x3x17
B組 =>1x2x....x9 =>5 x (1x2x3x4x6x7x8x9) =>5x76

於是AB兩組共可提出 12 個 5, 剩下A組 = (1x17)x(3x3)x(7x13)x(9x11)
= (17)(9)(91)(99) = (53)(9) = 77 (mod 100)

於是 90! 扣掉最後面所有的0 的數 = (76^10)x77x(2^8)
=76x77x56
=12 (mod 100)

[提出12個5在此可視為乘上8個2的原因]

注意到2^(20t+k)=2^(20m+k) (mod 100) 其中 t,m,k 為自然數
因此數甚大，必定大於2^20，故可以如此計算得答案為12。

希望我這次沒有不小心寫錯的 = =

myfund168

2010-03-18 19:28
Quarterback：
分成A組 5,15,25...,85 and B組 10,20,...,90
其中A組 => 5^11x1x3x7x9x11x13x3x17
B組 =>1x2x....x9 =>5 x (1x2x3x4x6x7x8x9) =>5x76
於是AB兩組共可提出 12 個 5,

原來B組是指 B組/10^9
難怪我一直看不懂：AB兩組為何共可提出 12 個 5,