小弟這裡有幾題想請教各位大大~~
請好心人士提供詳解，謝謝!!

1.設a7>a6>a5>a4>a3>a2>a1為連續的7 個正整數，已知
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7為完全立方數，a2+a3+a4+a5 +a6為完全平方數，
求a7 的最小值為何？

2.在ΔABC 中，∠B 與∠C 的角平分線分別交AC 與AB 於D, E 點且此二角平分線
交於F 點，如果四邊形FDAE 內接於一圓，則∠A的度數為度?

3.在ΔABC 中， AB=20,AC=21,BC=29,D,E在BC 上使得BD = 8 ，且
EC = 9，則∠DAE 的度數為幾度?

4.設P為正方形ABCD 內的一點，已知邊長AB=2，且P到正方形AB的兩端點A、B，以及到對邊CD的距離都相等，若d表示這個相同的距離，則d的值為何?

5.已知方程式x2 −8x+m+6=0有兩個相等實根，且它的根是ΔABC 的BC 邊長，若ΔABC 的面積為6，則它的重心G 到BC 的距離為何?

其實以上的題目我都有想法但沒辦法好好把他整理出來。拜託各位大大囉~~
國中

回應

joey

2010-04-03 14:41
1. a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4，令a4=49m^3
a2+a3+a4+a5 +a6=5a4，令a4=5n^2
可得m是5的倍數，令m=5k
則5n^2=125*49k^3
n^2=35^2 * k^3
可得m,n,k同時取最小值為5,35,1
也就是a4的最小值為6125，a7的最小值為6128

joey

2010-04-03 15:17
2.由F,D,A,E共圓可知∠A+∠DFE=180度
即∠A+∠BFC=180度
即∠A=∠FBC+∠FCB
即2∠A=∠ABC+∠ACB
即3∠A=180度
得∠A=60度

mmvp1688

2010-04-04 13:20
第三題只知道是個二股為20,21的直角三角形。
接下來要怎麼做呢

zaq1bgt5cde3mju7

2010-04-04 13:54
我也不知道,我才國二
但我想先算出斜邊上的高,再算出被分的兩段,再分別-8和9,再算出AD和AE
看他的邊長是多少來決定
我怕我手斷,不想算了!!

zaq1bgt5cde3mju7

2010-04-04 14:25
(5)首先,m=10........................................................................

zaq1bgt5cde3mju7

2010-04-04 20:13
(5)謝謝你問這個問題,讓我了解重心是什麼
用等腰三角形看,距離是2/5
至於要證明所有的情況,我再想想看!!

zaq1bgt5cde3mju7

2010-04-04 20:56
引用：

mmvp1688 寫道:
說明一下重心吧!!!

三角形三個中線的交點

zaq1bgt5cde3mju7

2010-04-04 21:19
證出來了,就是1
BC=4(原因不用說了吧),面積為6,高為3
設三角形ABC的C在右邊B在左邊,且B座標為(0,0),A座標為(2a,3)
AC中點座標為(a+2,3/2)[因為c座標為(4,0)]
BC中點座標為(2,0)
AC和BC中線的交點為[(2a+4)/3,1]
故它的重心G到BC的距離為1
方程式的工程浩大啊!!
不知有無簡單方法......

lochihsin

2010-04-04 22:07
1.a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7(a4)為完全立方數,因此必須有7^2整除a4　
a2+a3+a4+a5+a6=5(a4)為完全平方數,因此必須有5整除a4
因此有5*7^2整除a4
但為了滿足兩邊各自是完全立方數和完全平方數因此有5^3*7^2整除a4
a7(min)=5^3*7^2+3=6128
2.令角DBC=a度,角ECB=b度
圓內接四邊形的性質對角互補
角EFC+角A=(180-a-b)度+(180-2a-2b)度=180度
a+b=60,角A=(180-2a-2b)度=60度
3.注意到這是一個直角三角形
設線段AH是BC上的高,線段AH=420/29,線段BH=400/29,線段CH=441/29,線段DH=168/29,線段EH=180/29(用相似算)
會發現(線段AB)/(線段DB)=(線段AH)/(線段DH),所以線段AD是角BAH的角平分線
且(線段AC)/(線段CE)=(線段AH)/(線段HE),所以線段AE是角HAC的角平分線
所以角DAE=(1/2)*90度=45度
4.設P到線段AB的距離=a,P到線段DC的距離=2-a=線段AP=d
有1^2+a^2=(2-a)^2,解得d=5/4
5.此實根是4,又三角形面積=6,因此BC上的高線段AH=3,又重心將中線分成2:1,依相似三角形算出它的重心G 到BC 的距離=3*(1/3)=1

lochihsin

2010-04-04 22:10
引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我也不知道,我才國二
但我想先算出斜邊上的高,再算出被分的兩段,再分別-8和9,再算出AD和AE
看他的邊長是多少來決定
我怕我手斷,不想算了!!

用相似
我也是國二喔!

zaq1bgt5cde3mju7

2010-04-04 22:42
引用：

lochihsin 寫道:
引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我也不知道,我才國二
但我想先算出斜邊上的高,再算出被分的兩段,再分別-8和9,再算出AD和AE
看他的邊長是多少來決定
我怕我手斷,不想算了!!

用相似
我也是國二喔!

我用商高......................................

mmvp1688

2010-04-05 10:10
我只算出化垂直線後底會分為14和15，
接下來該怎麼做呢??
引用：

lochihsin 寫道:
引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我也不知道,我才國二
但我想先算出斜邊上的高,再算出被分的兩段,再分別-8和9,再算出AD和AE
看他的邊長是多少來決定
我怕我手斷,不想算了!!

用相似
我也是國二喔!

mmvp1688

2010-04-05 10:11
是青少年盃選拔的複賽試題
引用：

lochihsin 寫道:
這些是AMC10還是12?

mmvp1688

2010-04-05 10:55
AC和BC中線的交點為[(2a+4)/3,1]是為什麼呢???
引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
........AC中點座標為(a+2,3/2)[因為c座標為(4,0)]
BC中點座標為(2,0)
AC和BC中線的交點為[(2a+4)/3,1].......

mmvp1688

2010-04-05 10:59
第三題我做AF垂直BC，
得BF=14、FC=15
也就是DF=FE=6。
得到三角形ADF和AFE全等(SAS)
接下來該怎麼做呢??

lochihsin

2010-04-06 15:42
我想應該不會是整數吧
垂足是F好了
用內角平分線定理
推回去證:
三角形BAF中，AD是角BAF的角平分線
和
三角形FAC中，AE是角EAC的角平分線
半年前寫過還不會
不知道為什麼現在就會了
你有過嗎?
我沒過!!
我真的覺得我好遜
在初賽就被刷掉
懊惱了很久
少了幾場比賽能玩
接下來幾個月會乏味很多
而且青少年數學國際城市邀請賽的題目蠻酷的
不知道幾次被我分享給同學.寫在聯絡簿.寫在作文中
還被我發了瘋的狂寫十幾屆

mmvp1688

2010-04-07 20:21
你算出來不是整數嗎??
為什麼答案是45度??
因為沒有解法所以發問...
還有你說的內角平分線定理是指
BD:DF=AB:AF那個嗎??
還有FE:EC=AF:AC，
這是怎麼求的??

(PS我這次第一次參加進了複賽應該只是我運氣好吧...下次你要加油喔!!!)

j2006mouse

2010-04-07 21:38
第三題
圖形中有兩個等腰三角形
而且最大的三角形是個直角三角形
這樣就好解了
令角BAD=a,角DAE=b,角EAC=c
所以a+b+c=90度
角ADE=b+c,角AED=a+b
所以b+(b+c)+(a+b)=a+3b+c=180度
故得b=45
即角DAE=45度

lochihsin

2010-04-09 21:39
引用：

j2006mouse 寫道:
第三題
圖形中有兩個等腰三角形
而且最大的三角形是個直角三角形
這樣就好解了
令角BAD=a,角DAE=b,角EAC=c
所以a+b+c=90度
角ADE=b+c,角AED=a+b
所以b+(b+c)+(a+b)=a+3b+c=180度
故得b=45
即角DAE=45度

恩
你的方法比較好
mmvp1688你就用這個方法吧
謝謝!我會加油