一個難題

還好還好
如果你學過等差級數和舊教材的立方和公式
你應該就會了
立方和公式:
a立方+b立方=(a+b)(a平方-ab+b平方)
再試試吧!!
但這應屬國中吧?

我不喜歡您的答覆。

以下是幾種「無字證明」，請參考：

http://www.chiuchang.org.tw/download/pmwc/without-13.jpg
http://www.chiuchang.org.tw/download/pmwc/without-14.jpg
http://www.chiuchang.org.tw/download/pmwc/without-15.jpg
http://www.chiuchang.org.tw/download/pmwc/without-16.jpg

您可以根據它的精神寫下自己的「有字證明」。

哇!!!
一個代數式能轉換出那麼多種圖形呢!!!
有趣有趣!!!

我試了我的方法以後發現不會算
你用孫老師的吧

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我試了我的方法以後發現不會算
你用孫老師的吧

用你說的方法可以算
但我的算式有點亂
整理一下在發表好了

(1)(2)(3)(4)......(N)
(2)(4)(6)(8)......(2N)
(3)(6)(9)(12)......(3N)
(4)(8)(12)(16)......(4N)
.
.
.
.
(N)(2N)(3N)(4N)......(N2)
把同顏色的分別加起來
還有把全部加起來
就能證明了

一種證法的提示：
1= 1^3
3+5= 2 ^3
7+9+11= 3^3
13+15+17+19= 4^3
21+23+25+27+29= 5^3

引用：

sunnyfat 寫道:
一種證法的提示：
1= 1^3
3+5= 2 ^3
7+9+11= 3^3
13+15+17+19= 4^3
21+23+25+27+29= 5^3

最主要的是他們可不可以接成等差數列吧？
借一下你上面的算式囉
一、若a是奇數
a^3=a^2*a=……+(a^2-4)+(a^2-2)+a^2+(a^2+2)+(a^2+3)……(總共a項)
由於a^2是最中間的項，所以在a^2左邊有(a-1)/2項，右邊也有(a-1)/2項，而且公差是2
所以a^3=(a^2-a+1)+(a^2-a+3)+......+a^2+......+(a^2+a-3)+(a^2+a-1)
二、若a是偶數
a^3=a^2*a=.........+(a^2-1)+(a^2+1)+..........
a^2-1右邊有a/2-1項，a^2+1右邊也有a/2-1項
所以a^3=(a^2-a+1)+(a^2-a+3)+.....+(a^2-1)+(a^2+1)+......+(a^2+a-3)+(a^2+a-1)

先在有一個奇數a，一個偶數b，且a、b相差1
所以a^2+a-1與b^2-b+1相差2或b^2+b-1與a^2-a+1相差2
一、若a-b=1，a+1=b
所以(a^2+a-1)+2要等於(a+1)^2-(a+1)+1
a^2+a+1=a^2+2a+1-a-1+1
a^2+a+1=a^2+a+1
可以接成等差數列
二、若b-a=a，b+1=a
所以b^2+b-1+2=(b+1)^2-(b+1)+1
b^2+b+1=b^2+2b+1-b-1+1
b^2+b+1=b^2+b+1

因此奇數的三次方，偶數的三次方兩兩可以結合成公差為2的等差數列，又因為是從1開始，所以這個數列是1+3+5+7+……
還沒證到這個數列和是三次方的和

可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學？

引用：

yee3816547290 寫道:
可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學？

但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果

也可利用恆等式(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
兩邊取sigma(k=1到k=n)經化簡就出來了
注意等號左邊是n^3
這方法的好處就是可以以類似的方法推出
指數為其他正整數時的結果
(二項式定理的應用)
不需要每種情況都慢慢的找規律

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/48/high/030407.pdf
參考一下吧

n=1時
1^2=1^3，成立。
令n=k成立，
(1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3
則n=k+1時
[1+2+...+k+(k+1)]^2
=(1+2+...+k)^2+2*(1+2+...+k)*(k+1)+(k+1)^2
=1^3+2^3+...+k^3+2*(k+1)*k/2*(k+1)+(k+1)^2
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^2*(k+1)
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3
故得證。

引用：

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果

何謂無法預測其結果？

引用：

yee3816547290 寫道:

引用：

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果

何謂無法預測其結果？

就是說數學歸納法只能驗證命題
那如果問你(1+2+3....+n)的平方是多少時
當然就得先觀察規律
才能用數學歸納法
以這題你的方法沒有錯
但要求值時就較為麻煩

引用：

d22538366 寫道:

引用：

yee3816547290 寫道:

引用：

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果

何謂無法預測其結果？

就是說數學歸納法只能驗證命題
那如果問你(1+2+3....+n)的平方是多少時
當然就得先觀察規律
才能用數學歸納法
以這題你的方法沒有錯
但要求值時就較為麻煩

他的方法不就是你說的待定係數法嗎??

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

d22538366 寫道:

引用：

yee3816547290 寫道:

引用：

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果

何謂無法預測其結果？

就是說數學歸納法只能驗證命題
那如果問你(1+2+3....+n)的平方是多少時
當然就得先觀察規律
才能用數學歸納法
以這題你的方法沒有錯
但要求值時就較為麻煩

他的方法不就是你說的待定係數法嗎??

待定係數法和數學歸納法是不一樣的
若以這題來看可設原式為
an^4+bn^3+cn^2+dn+e
然後n再分別用x.y.z.w.s五個相異已知數代入
解聯立就出來了

但有一點要強調
就是你所推出的式子要用數學歸納法
來驗證.因為目前所得的式子只是一個推斷
這在處理任意自然數次時是一個好方法
因為不用一個一個的找規律
還有在代入x.y.z.w.s時盡量用較簡單數值代入
這樣解聯立就比較簡單
若題目要求的次數較大(所得的方程組太大)
就用矩陣吧

引用：

d22538366 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

d22538366 寫道:

引用：

yee3816547290 寫道:

引用：

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果

何謂無法預測其結果？

就是說數學歸納法只能驗證命題
那如果問你(1+2+3....+n)的平方是多少時
當然就得先觀察規律
才能用數學歸納法
以這題你的方法沒有錯
但要求值時就較為麻煩

他的方法不就是你說的待定係數法嗎??

待定係數法和數學歸納法是不一樣的
若以這題來看可設原式為
an^4+bn^3+cn^2+d
然後n再分別用x.y.z.w四個相異已知數代入
解聯立就出來了

但有一點要強調
就是你所推出的式子要用數學歸納法
來驗證.因為目前所得的式子只是一個推斷
這在處理任意自然數次時是一個好方法
因為不用一個一個的找規律
還有在代入x.y.z.w時盡量用較簡單數值代入
這樣解聯立就比較簡單
若題目要求的次數較大(所得的方程組太大)
就用矩陣吧

你上面少了"n項".......................................

不是這樣嗎??
an^4+bn^3+cn^2+dn+e
用n=1代入要等於1^3--------------a+b+c+d+e=1
而[a(n+1)^4+b(n+1)^3+c(n+1)^2+d(n+1)+e]-[an^4+bn^3+cn^2+dn+e]要=(n+1)^3
然後就解出來了

引用：

yee3816547290 寫道:
n=1時
1^2=1^3，成立。
令n=k成立，
(1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3
則n=k+1時
[1+2+...+k+(k+1)]^2
=(1+2+...+k)^2+2*(1+2+...+k)*(k+1)+(k+1)^2
=1^3+2^3+...+k^3+2*(k+1)*k/2*(k+1)+(k+1)^2
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^2*(k+1)
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3
故得證。

他用的是標準的數學歸納法基本型

最簡單和常見的數學歸納法是證明當 n 等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：
骨牌一個接一個倒下，就如同一個值到下一個值的過程。

1. 證明當 n = 1 時命題成立。
2. 證明如果在 n = m 時命題成立，那麼可以推導出在 n = m+1 時命題也成立。（m 代表任意自然數）
參考自http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%AD%B8%E7%B4%8D%E6%B3%95

引用：

yee3816547290 寫道:
可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學？

我看過其它的證法了
不過既然放在小學裡了
總不能用SIGMA吧？

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

yee3816547290 寫道:
可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學？

我看過其它的證法了
不過既然放在小學裡了
總不能用SIGMA吧？

SIGMA只是一個符號'
用來簡化較複雜的式子
不要用SIGMA也可以
只是寫出來的東東較長罷了

引用：

d22538366 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

yee3816547290 寫道:
可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學？

我看過其它的證法了
不過既然放在小學裡了
總不能用SIGMA吧？

SIGMA只是一個符號'
用來簡化較複雜的式子
不要用SIGMA也可以
只是寫出來的東東較長罷了

哇
寫出來會死人命啦！

不過對於小學，最好用的還是一個一個試吧…
比較能接受他

看到一個自己不懂的證明還是會懷疑吧…

引用：

hansonyu123 寫道:
哇
寫出來會死人命啦！

不過對於小學，最好用的還是一個一個試吧…
比較能接受他

看到一個自己不懂的證明還是會懷疑吧…

小學生何必想這種問題？

引用：

yee3816547290 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:
哇
寫出來會死人命啦！

不過對於小學，最好用的還是一個一個試吧…
比較能接受他

看到一個自己不懂的證明還是會懷疑吧…

小學生何必想這種問題？

可是他問了啊
就要回答啊

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

d22538366 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

yee3816547290 寫道:
可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學？

我看過其它的證法了
不過既然放在小學裡了
總不能用SIGMA吧？

SIGMA只是一個符號'
用來簡化較複雜的式子
不要用SIGMA也可以
只是寫出來的東東較長罷了

哇
寫出來會死人命啦！

不過對於小學，最好用的還是一個一個試吧…
比較能接受他

看到一個自己不懂的證明還是會懷疑吧…

有這麼誇張嗎
你有寫出來過嗎
也沒多長啊
若你真的寫不出來
我下次寫給你看好了

引用：

d22538366 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

d22538366 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

yee3816547290 寫道:
可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學？

我看過其它的證法了
不過既然放在小學裡了
總不能用SIGMA吧？

SIGMA只是一個符號'
用來簡化較複雜的式子
不要用SIGMA也可以
只是寫出來的東東較長罷了

哇
寫出來會死人命啦！

不過對於小學，最好用的還是一個一個試吧…
比較能接受他

看到一個自己不懂的證明還是會懷疑吧…

有這麼誇張嗎
你有寫出來過嗎
也沒多長啊
若你真的寫不出來
我下次寫給你看好了

連k都不知道是幾了
寫的出來哦？

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

d22538366 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

d22538366 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

yee3816547290 寫道:
可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學？

我看過其它的證法了
不過既然放在小學裡了
總不能用SIGMA吧？

SIGMA只是一個符號'
用來簡化較複雜的式子
不要用SIGMA也可以
只是寫出來的東東較長罷了

哇
寫出來會死人命啦！

不過對於小學，最好用的還是一個一個試吧…
比較能接受他

看到一個自己不懂的證明還是會懷疑吧…

有這麼誇張嗎
你有寫出來過嗎
也沒多長啊
若你真的寫不出來
我下次寫給你看好了

連k都不知道是幾了
寫的出來哦？

你的k是指哪裡

sigma證法那裡面
有一個k

好吧
我還是寫一下(以算1^2+2^2+3^2+...+n^2為例)
利用恆等式k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1
可得
........k=1代入:1^3-0^3=3(1^2)-3(1)+1
........k=2代入:2^3-1^3=3(2^2)-3(2)+1
........k=3代入:3^3-2^3=3(3^2)-3(3)+1
........................................................
+)k=n代入:n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
---------------------------------------------------
n^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-3(1+2+3+...+n)+n
剩下只剩整理了
同理可算1^3+2^3+3^3+...+n^3