1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4=多少?? 有這樣的總和公式嗎?? 我研究出來了!!甚至x次方(x為正整數)都能做!! 幫忙檢查下: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4= {n(n+1)(2n+1)[3(n^2)+3n-1]}/30學習討論區 回應 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-28 23:21 在網路上找了一段時間,原來有...... 正確的 我的方法: 設f(x)=1^4+2^4+......+(x-1)^4+x^4=a(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f f(1)=1^4=1 f(n)-f(n-1)=n^4 以f(x)=a(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f代入 能得一堆的聯立方程式,解開即可 這裡的聯立方程式其實不煩,將f(n-1)展開才煩 證明用數學歸納法即可 ...... 因式分解我是亂除找出因式來分解的...... zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-28 23:25 下一個目標:連續正整數倒數和 有這個總和公式嗎?? 我目前還尚未找到 要研究了!! scott.choing Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-29 17:54 沒有，它是發散級數 但連續正整數平方倒數和有 你可以試試看 vic526tor Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-29 20:21 是不是發散級數跟總和公式的存在與否應該沒有關係 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-29 21:12 是啊,我又不是要求無窮級數...... 還有連續正整數倒數平方和你是要求無窮級數還是總和公式?? 若有人有想法,可以提出來,謝謝!! 目前想到: 用上面的方法 f(1)=1 f(n)-f(n-1)=1/n 若能找到f(x),就找出公式了 另外想到能滿足f(n)-f(n-1)=1/n的話,調整常數項即可滿足f(1)=1了!! 現在在想f(x)應該長啥樣子 WENDYCHI Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-29 22:53 自古以來很多數學家都研究過也沒有什麼結果 而且這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加 也有其他可以研究的 EX:費氏數的和、平方和、立方和... 盧氏數的和、平方和、立方和... 或著巴斯卡三角形上的隨便一列的和、平方和、立方和... zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-29 22:58 這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加 啥意思?? 費氏數是啥?? 盧氏數是啥?? 就因為很難,所以才有思考的機會 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-30 21:11 有一點點進展了!! 公式不可能是B/A,其中A,B為多項式 不太會講證明,不過確實是證出來了 這使我感覺更難找出來了,總覺得公式好像不存在...... WENDYCHI Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-30 21:14 引用： zaq1bgt5cde3mju7 寫道: 這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加啥意思?? 費氏數是啥?? 盧氏數是啥?? 實際加加看就知道我說的意思 引用： 費氏數是啥?? 盧氏數是啥?? 費波納西數 盧卡斯數 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-30 21:44 修正:多項式裡x的分數次方未證實 因為(x-1)^(分數)應該不一定=x^(分數)-(分數)[x^(分數-1)]+...... (前面改過了......) Quarterback Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 00:39 別懷疑...它是對的 BTW, 我兩年前有對這類的總和問題做點小研究... 最初步的發現是.... 它竟然可以和微積分扯上關係!! 還有呀... 所有的1~k的n次方和公式可以用你的聯立方程做出來也是對的 不過我那時是用數學歸納法研究出來的...而且有通式可以表達"1~k的n次方和"這個數 證明同樣用數歸證得... 你可以也來試試看...除了細心不能出錯之外其實找出通式算是很簡單了.... 對了...給你一個提示 你找到的那個分母30呀.....其實是從"120"約分來的...而這個120則是5! 3次方和的分母4...事實上是由24約分來的...它等於4! 喔 還有通式裡的分子是有規律的...可以試著找找看!! vic526tor Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 10:42 題外話: 請問BTW是by the way的意思嗎? Quarterback Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 19:12 引用： vic526tor 寫道: 題外話: 請問BTW是by the way的意思嗎? 嗯...沒錯 BTW= by the way 我是看到標題讓我想到以前做過的小專題... simon89889 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 20:23 這樣大概就是在找多項式的泰勒展開式了 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 20:50 引用： Quarterback 寫道: 別懷疑...它是對的 ...... 是說哪個對啊?? zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 21:30 引用： zaq1bgt5cde3mju7 寫道: 有一點點進展了!! 公式不可能是B/A,其中A,B為多項式 不太會講證明,不過確實是證出來了 這使我感覺更難找出來了,總覺得公式好像不存在...... 粗略證明一下: 若m(x),n(x)為多項式,設公式=n(x)/m(x) 則[n(x)/m(x)]-[n(x-1)/m(x-1)]=1/x 若deg[m(x)]=deg[n(x)]=a次,會得2a-1大於等於2a,故矛盾 若deg[m(x)]不=deg[n(x)] 會得deg[m(x)]=deg[n(x)],故矛盾 得證:公式不為n(x)/m(x) 註:deg[f(x)]=多項式f(x)的最高次數 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 21:41 引用： WENDYCHI 寫道: 自古以來很多數學家都研究過也沒有什麼結果 而且這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加 也有其他可以研究的 EX:費氏數的和、平方和、立方和... 盧氏數的和、平方和、立方和... 或著巴斯卡三角形上的隨便一列的和、平方和、立方和... 費氏數前n項和有已知公式嗎?? 目前解到: S(x)代表費氏數前x項之和,S(1)=1,S(2)=2,S(n)=S(n-2)+S(n-1)+1 求S(n)=?? 解出來就知了 myfund168 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 22:28 joey 在 [ Re: 二次方和三次方合公式的導法 ] http://www.chiuchang.org.tw/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=3321&forum=7#20447 一文中，寫得很好啊！為何大家還再吵 ？ 『 joey 看到一定很傷心！ 』 PS： zaq1bgt5cde3mju7 公布的公式若是正確的，是否要化簡一下 ？ zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-05 04:46 那時我還未加入會員 原來之前討論過了......
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-28 23:21 在網路上找了一段時間,原來有...... 正確的 我的方法: 設f(x)=1^4+2^4+......+(x-1)^4+x^4=a(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f f(1)=1^4=1 f(n)-f(n-1)=n^4 以f(x)=a(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f代入 能得一堆的聯立方程式,解開即可 這裡的聯立方程式其實不煩,將f(n-1)展開才煩 證明用數學歸納法即可 ...... 因式分解我是亂除找出因式來分解的......
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-28 23:25 下一個目標:連續正整數倒數和 有這個總和公式嗎?? 我目前還尚未找到 要研究了!!
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-29 21:12 是啊,我又不是要求無窮級數...... 還有連續正整數倒數平方和你是要求無窮級數還是總和公式?? 若有人有想法,可以提出來,謝謝!! 目前想到: 用上面的方法 f(1)=1 f(n)-f(n-1)=1/n 若能找到f(x),就找出公式了 另外想到能滿足f(n)-f(n-1)=1/n的話,調整常數項即可滿足f(1)=1了!! 現在在想f(x)應該長啥樣子
WENDYCHI Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-29 22:53 自古以來很多數學家都研究過也沒有什麼結果 而且這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加 也有其他可以研究的 EX:費氏數的和、平方和、立方和... 盧氏數的和、平方和、立方和... 或著巴斯卡三角形上的隨便一列的和、平方和、立方和...
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-29 22:58 這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加 啥意思?? 費氏數是啥?? 盧氏數是啥?? 就因為很難,所以才有思考的機會
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-30 21:11 有一點點進展了!! 公式不可能是B/A,其中A,B為多項式 不太會講證明,不過確實是證出來了 這使我感覺更難找出來了,總覺得公式好像不存在......
WENDYCHI Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-30 21:14 引用： zaq1bgt5cde3mju7 寫道: 這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加啥意思?? 費氏數是啥?? 盧氏數是啥?? 實際加加看就知道我說的意思 引用： 費氏數是啥?? 盧氏數是啥?? 費波納西數 盧卡斯數
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-06-30 21:44 修正:多項式裡x的分數次方未證實 因為(x-1)^(分數)應該不一定=x^(分數)-(分數)[x^(分數-1)]+...... (前面改過了......)
Quarterback Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 00:39 別懷疑...它是對的 BTW, 我兩年前有對這類的總和問題做點小研究... 最初步的發現是.... 它竟然可以和微積分扯上關係!! 還有呀... 所有的1~k的n次方和公式可以用你的聯立方程做出來也是對的 不過我那時是用數學歸納法研究出來的...而且有通式可以表達"1~k的n次方和"這個數 證明同樣用數歸證得... 你可以也來試試看...除了細心不能出錯之外其實找出通式算是很簡單了.... 對了...給你一個提示 你找到的那個分母30呀.....其實是從"120"約分來的...而這個120則是5! 3次方和的分母4...事實上是由24約分來的...它等於4! 喔 還有通式裡的分子是有規律的...可以試著找找看!!
Quarterback Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 19:12 引用： vic526tor 寫道: 題外話: 請問BTW是by the way的意思嗎? 嗯...沒錯 BTW= by the way 我是看到標題讓我想到以前做過的小專題...
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 20:50 引用： Quarterback 寫道: 別懷疑...它是對的 ...... 是說哪個對啊??
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 21:30 引用： zaq1bgt5cde3mju7 寫道: 有一點點進展了!! 公式不可能是B/A,其中A,B為多項式 不太會講證明,不過確實是證出來了 這使我感覺更難找出來了,總覺得公式好像不存在...... 粗略證明一下: 若m(x),n(x)為多項式,設公式=n(x)/m(x) 則[n(x)/m(x)]-[n(x-1)/m(x-1)]=1/x 若deg[m(x)]=deg[n(x)]=a次,會得2a-1大於等於2a,故矛盾 若deg[m(x)]不=deg[n(x)] 會得deg[m(x)]=deg[n(x)],故矛盾 得證:公式不為n(x)/m(x) 註:deg[f(x)]=多項式f(x)的最高次數
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 21:41 引用： WENDYCHI 寫道: 自古以來很多數學家都研究過也沒有什麼結果 而且這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加 也有其他可以研究的 EX:費氏數的和、平方和、立方和... 盧氏數的和、平方和、立方和... 或著巴斯卡三角形上的隨便一列的和、平方和、立方和... 費氏數前n項和有已知公式嗎?? 目前解到: S(x)代表費氏數前x項之和,S(1)=1,S(2)=2,S(n)=S(n-2)+S(n-1)+1 求S(n)=?? 解出來就知了
myfund168 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4 2010-07-01 22:28 joey 在 [ Re: 二次方和三次方合公式的導法 ] http://www.chiuchang.org.tw/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=3321&forum=7#20447 一文中，寫得很好啊！為何大家還再吵 ？ 『 joey 看到一定很傷心！ 』 PS： zaq1bgt5cde3mju7 公布的公式若是正確的，是否要化簡一下 ？
回應
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-28 23:21正確的
我的方法:
設f(x)=1^4+2^4+......+(x-1)^4+x^4=a(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f
f(1)=1^4=1
f(n)-f(n-1)=n^4
以f(x)=a(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f代入
能得一堆的聯立方程式,解開即可
這裡的聯立方程式其實不煩,將f(n-1)展開才煩
證明用數學歸納法即可
......
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-28 23:25有這個總和公式嗎??
我目前還尚未找到
要研究了!!
scott.choing
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-29 17:54但連續正整數平方倒數和有
你可以試試看
vic526tor
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-29 20:21zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-29 21:12還有連續正整數倒數平方和你是要求無窮級數還是總和公式??
若有人有想法,可以提出來,謝謝!!
目前想到:
用上面的方法
f(1)=1
f(n)-f(n-1)=1/n
若能找到f(x),就找出公式了
另外想到能滿足f(n)-f(n-1)=1/n的話,調整常數項即可滿足f(1)=1了!!
現在在想f(x)應該長啥樣子
WENDYCHI
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-29 22:53而且這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加
也有其他可以研究的
EX:費氏數的和、平方和、立方和...
盧氏數的和、平方和、立方和...
或著巴斯卡三角形上的隨便一列的和、平方和、立方和...
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-29 22:58啥意思??
費氏數是啥??
盧氏數是啥??
就因為很難,所以才有思考的機會
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-30 21:11公式不可能是B/A,其中A,B為多項式
不太會講證明,不過確實是證出來了
這使我感覺更難找出來了,總覺得公式好像不存在......
WENDYCHI
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-30 21:14實際加加看就知道我說的意思
費波納西數
盧卡斯數
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-06-30 21:44因為(x-1)^(分數)應該不一定=x^(分數)-(分數)[x^(分數-1)]+......
(前面改過了......)
Quarterback
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-01 00:39BTW, 我兩年前有對這類的總和問題做點小研究...
最初步的發現是....
它竟然可以和微積分扯上關係!!
還有呀...
所有的1~k的n次方和公式可以用你的聯立方程做出來也是對的
不過我那時是用數學歸納法研究出來的...而且有通式可以表達"1~k的n次方和"這個數
證明同樣用數歸證得...
你可以也來試試看...除了細心不能出錯之外其實找出通式算是很簡單了....
對了...給你一個提示
你找到的那個分母30呀.....其實是從"120"約分來的...而這個120則是5!
3次方和的分母4...事實上是由24約分來的...它等於4! 喔
還有通式裡的分子是有規律的...可以試著找找看!!
vic526tor
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-01 10:42請問BTW是by the way的意思嗎?
Quarterback
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-01 19:12嗯...沒錯 BTW= by the way
我是看到標題讓我想到以前做過的小專題...
simon89889
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-01 20:23zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-01 20:50是說哪個對啊??
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-01 21:30粗略證明一下:
若m(x),n(x)為多項式,設公式=n(x)/m(x)
則[n(x)/m(x)]-[n(x-1)/m(x-1)]=1/x
若deg[m(x)]=deg[n(x)]=a次,會得2a-1大於等於2a,故矛盾
若deg[m(x)]不=deg[n(x)]
會得deg[m(x)]=deg[n(x)],故矛盾
得證:公式不為n(x)/m(x)
註:deg[f(x)]=多項式f(x)的最高次數
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-01 21:41費氏數前n項和有已知公式嗎??
目前解到:
S(x)代表費氏數前x項之和,S(1)=1,S(2)=2,S(n)=S(n-2)+S(n-1)+1
求S(n)=??
解出來就知了
myfund168
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-01 22:28一文中，寫得很好啊！為何大家還再吵 ？
PS： zaq1bgt5cde3mju7 公布的公式若是正確的，是否要化簡一下 ？
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
2010-07-05 04:46原來之前討論過了......