若用純代數的方法，如何證
(n+1)(n+2)(...)(2n) / (1)(2)(3)(...)(n)
之商為整數?

(如果從排列組合來看的話，這個值就是c2n取n，一定是整數)
但我用歸納法作不太出來，請大家幫忙！！
高中

回應

s846846

2010-07-11 06:08
不是很確定可以證明
如果說連續n個正整數中必有1個是n的倍數
用這個想法不知道有沒有幫助
畢竟現在所學太少((國中程度
能想到的不多

yankeerock1

2010-07-11 06:53
請參考簡明數論p.50，可以在九張出版社買到，裡面是用討論質數的個數給出證明

g1122351

2010-07-15 07:11
若n為10
則除數就是1到10相乘
被除數就是11到20相乘
1的倍數是1個循環
2的倍數是2個循環
3是3個
4是4個
.
.
.
10是10個
所以在11到20
10個數字中必定會有1到10所有數字的倍數
把10換成n
n+1到2n
n個數字中
ㄧ定會有1到n所有數字的倍數

s846846

2010-07-15 20:40
我在想
會不會有"用完"的問題
像是被4出了之後 被2除就除不盡
有沒有可能發生這樣的狀況?
要怎麼證明不可能發生

zaq1bgt5cde3mju7

2010-07-19 05:35
是啊,之前我也是這樣解
結果回答時卡住了
這樣只證實了它為1,2,...,n的倍數
無法證實為1x2x...xn的倍數
例:12為2,3,4的倍數,但不為2x3x4的倍數

vic526tor

2010-07-20 21:20
可以用數論的方法證明，例如假設p為一個質數滿足
p小於或等於n
然後找出x使得p^x整除1x2x...xn且p^(x+1)不整除1x2x...xn
找出y使得p^y整除1x2x...x2n且p^(y+1)不整除1x2x...x2n
最後證明2x小於或等於y即x小於或等於y-x就可以了
證明的方法可以參考有關數論的書籍或是有關數論的網站