若x為整數,且x^2-2x≠0
求證:x^a+x^b=x^c------(a,b,c)無整數解
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zaq1bgt5cde3mju7

2010-08-18 06:23
最近上線的人好少......
請問前面"依然是自編題"那題
需要提示嗎??
還有這一題,各位應該解的出來
此題是我當時在想當x為整數
x為多少,x^a+x^b=x^c的(a,b,c)才有整數解時
順便創出的題目

zaq1bgt5cde3mju7

2010-08-22 21:38
已經用x^2-2x≠0來引領你們進入解方程的感覺了
x≠0或2,x^a+x^b=x^c------(a,b,c)無整數解
這句話等同於a,b,c為整數
則x^a+x^b=x^c,除x=0或2外,不可能有其他整數解
將它換成x^a+x^b-x^c=0後
你可以發現不管a,b,c的大小如何
x^a+x^b-x^c絕對不會有(x+3,4,5...)或(x-3,4,5...)的因式
即x^a+x^b-x^c=0,不可能會有x=3,4,5...或-3,-4,-5...的解
所以討論x=-2,-1,0,1,2即可(0,2不用了)


回到原題,x=1,-1時,明顯(a,b,c)無整數解
所以剩-2,這裡是關鍵
回去把x^a+x^b=x^c換成x^(c-a)-x^(b-a)=1,反正x≠0
可以知道若兩個(-2)的整數次方差不可能為1
則x不可能為-2
-2的整數次方:...-1/8,1/4,-1/2,1,-2,4,-8...
兩個(-2)的非負整數次方之差最小為3
(3,3,6中最小為3)
故不可能為1(這裡完全證明稍難,不會再問我,手快斷了)
兩個(-2)的負整數次方之差最大為3/4
(3/8,3/4,3/16中最大為3/4)
故不可能為1(這裡完全證明稍難,不會再問我,手快斷了)
一個(-2)的非負整數次方和一個(-2)的負整數次方之差
為一個整數和非整數之差,不可能為整數,故不可能為1
得證......


其實後面那段同理可證x=3,4,5...或-3,-4,-5...不合......