話說今年東南的第三題阿..
天阿我根本不知道要怎麼下手...囧
他是這麼說的:

已知三角形ABC內切圓I分別與邊AB、BC相切於F、D，直線AD、CF分別交圓I於另一點H、K。求證：
FDxHK=3(FHxDK)

阿就麻煩大家了~~謝謝啦=D
高中

回應

yankeerock1

2010-08-19 17:27
我也是考生 提供一個有點暴力的作法，可惜考試的時候好像計算錯誤了...
由托勒密訂理元題等價逾FN*MD=4FM*DN
(CF-CN)*(AD-AM)=(CF-CD平方/CF)(AD-AF平方/AD)
又4FM*DN=4(FD*AF/AD)*(FD*CD/CF)
等價4FD平方*AF*CD=(CF平方-CD平方)(AD平方-AF平方)
然後用餘弦定理把右是換掉
然後COSBDF=FD/BD,DF=2BD*SINB/2
等價AF*CD=AB*AC*SINB/2
接下來報開就得證了
我省略了一些步驟
我也覺得我的做法沒有很漂亮
但至少做得出來
各位高手請提供更好的作法吧
(我的M和N分別是樓主的H和K)

simon89889

2010-08-20 00:15
設內切圓切AC於G
原式等價於FK*HD=4FH*DK
由切割線性質可以得到GK*DF=DK*FG,FH*DG=HG*FD
由托勒密定理
FK*DG=2DK*FG
FG*DH=2FH*DG
兩式相乘即得FK*HD=4FH*DK
所以原式亦成立

zaq1bgt5cde3mju7

2010-08-20 04:56
唉,看來我還是得再多學一點高中數學啊......
數學中我最弱的就是圓了!!
我不會的題目有9成都是圓啊!!

celine.yang06

2010-08-21 22:55
引用：

simon89889 寫道:
設內切圓切AC於G
原式等價於FK*HD=4FH*DK
由切割線性質可以得到GK*DF=DK*FG,FH*DG=HG*FD
由托勒密定理
FK*DG=2DK*FG
FG*DH=2FH*DG
兩式相乘即得FK*HD=4FH*DK
所以原式亦成立

由切割線性質可以得到GK*DF=DK*FG,FH*DG=HG*FD是怎麼得到的
我有點當機了

simon89889

2010-08-23 03:18
一個角左右兩邊各有一組相似三角形(切割線性質)
觀察三角形線段比例就可以得到了
就像這樣GK:GF=CK:CG=CK:CD(橋樑)=DK:DF