若正有理數x,y,z滿足x+(1/y)和y+(1/z)和z+(1/x)都是整數
求出滿足上述條件的有序三元組(x,y,z)


別的數學討論區問的
他說是城市盃的題目
我已經解了兩三天了
依舊解不出來
感覺像無限多解
但好像無法證它無限多解
請指教,謝謝!!
國中

回應

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-01 05:24
不用了,自己解出來了!!

是否有以下此一定理??
突然想到就會解了,感覺很像定理......

兩個有理數,如果他們的和為整數
則它們的最簡分數之分母相同

有嗎??
:-? :-? :-?

celine.yang06

2010-09-01 05:51
引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
不用了,自己解出來了!!

是否有以下此一定理??
突然想到就會解了,感覺很像定理......

兩個有理數,如果他們的和為整數
則它們的最簡分數之分母相同

有嗎??
:-? :-? :-?

令x=a/b
其中a,b互質
即x為最簡分數
則-a,b也互質
即bx-a,b也互質(x為任意整數)
令x+y=t(t為整數)
y=t-(a/b)=(bt/b)-(a/b)=(bt-a)/b
因bt-a和b互質
所以y為最簡分數XDDDDDDDDDDDDD
易知要成最簡分數的話
分母必相同




這題城市杯
你是怎麼解的
我不會啊 :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o :-o

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-02 05:03
這樣就可以設x=b/a,y=a/c,z=c/b
然後就出來了(很麻煩.....)

WENDYCHI

2010-09-06 05:28
1,1,1

1,1/2,2

1/2,2,1

2,1,1/2

2,1/3,3/2

1/3,3/2,2

3/2,2,1/3
解法忘了
:-( :-(

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-06 06:04
引用：

WENDYCHI 寫道:
1,1,1

1,1/2,2

1/2,2,1

2,1,1/2

2,1/3,3/2

1/3,3/2,2

3/2,2,1/3
解法忘了
:-( :-(

我解出來的還有
2/3,3,1/2

3,1/2,2/3

1/2,2/3,3

不知有無更好解法......

我設x=b/a,y=d/c,z=f/e(最簡分數)
依條件結合我那上面寫的那個
又可得a=d,c=f,b=e,從而x=b/a,y=a/c,z=c/b
再代回條件可得(b+c)/a,(a+b)/c,(a+c)/b皆為正整數
設(b+c)/a,(a+b)/c分別為m,n(正整數)
可得a:b:c=......

我不想寫了= =
接下來好像得(a+c)/b=(m+n+2)/(mn-1)
然後分m=1,2,3,4,5(6以上不合)去解n
全部代回去就可得全部的10組解了......