不定方程

不太清楚你的意思......
2(x^2)=y^2+(8t±1)必有正整數解(x,y)
是要證明兩種皆有解
還是其中一種有解??
當t為正整數,且8t±1為質數
是指兩種皆為質數
還是其中一種為質數??

所以題目是這樣囉??


對所有形如8t+1或8t-1的質數p(t為正整數)
證明:必存在兩正整數x,y,使得2(x^2)=y^2+p


對吧??

7,17,23,31,41,47,71...

7=4*2-1
17=9*2-1
23=16*2-9
31=16*2-1
41=25*2-9
47=36*2-25
71=36*2-1

唉......
沒啥頭緒,好難啊!!
有誰會解嗎??
幫忙一下吧......

將方程改為2x^2-y^2=8t±1
現在證明當(x,y)=(偶數,奇數)或(奇數,奇數)時原方程存在解。

已知任何奇數的平方被8除餘1。

當(x,y)=(偶數,奇數)時，2x^2-y^2≡0-1=-1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t-1

當(x,y)=(奇數,奇數)時，2x^2-y^2≡2(1) -1=1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t+1

綜上所述，2x^2-y^2=8t±1有解。（不管8t±1是不是質數）

引用：

langmushi 寫道:
將方程改為2x^2-y^2=8t±1
現在證明當(x,y)=(偶數,奇數)或(奇數,奇數)時原方程存在解。

已知任何奇數的平方被8除餘1。

當(x,y)=(偶數,奇數)時，2x^2-y^2≡0-1=-1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t-1

當(x,y)=(奇數,奇數)時，2x^2-y^2≡2(1) -1=1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t+1

綜上所述，2x^2-y^2=8t±1有解。（不管8t±1是不是質數）

你的解法有一點問題，你只證明了2x^2-y^2可以表為
8t±1，並沒有證明對任何形如8t±1的數都可表為2x^2-y^2

是啊,其逆定理不成立
害我期待了一下......

由於顯示問題，分兩部分

證明的第一部分：

本证明涉及到数论中的二次剩余理论的某些性质

根據二次剩餘的性質

U^2≡2 modp （其中p為質數且p≡±1 mod8 ）U
總有解。

因此設U^2=kp+2
U^2-2=kp

由此可知L^2-2N^2=Mp存在整數解（例如取L=U，N=1，M=k或者是L=tU，N=t，M=kt^2）

現在我們來證明M最小可以取到1。設M=m是使
L^2-2N^2=Mp成立的最小值且m>1。

這是從另一個討論區得到的答案:



似乎不用強調“正整數解”，因為x和y都是二次方。
為了配合佩爾方程的表示法，把題目的變數x、y互換，另外p是正是負也不影響證明。
命題A：“x^2-2y^2＝p必有整數解，其中p為形如8t±1的質數。”


<證明>

先說明三個命題，但不證明。

命題一：此從chakravala method觀察而來，若m^2-N=k1×k2，x^2-Ny^2=k1有整數解
，如果存在整數對(a,b)使得[(am+Nb)/k2]^2-N[(a+mb)/k2]^2=k1，則x^2-Ny^2=k2有
整數解(a,b)。

命題二：若x^2-Ny^2=k1和x^2-Ny^2=k2皆有解，則x^2-Ny^2=k1k2亦有解
(Brahmagupta–Fibonacci identity的應用)

命題三：m^2-2＝(2^a)×q，a＝0或1，q為奇質因數的乘積，且皆為形如8t±1的質數。


命題一、命題二是佩爾方程；命題三是二次剩餘。
接著進入主要證明，方法為對形如8t±1的質數做歸納法，前幾項檢驗數據就省略了。
根據二次剩餘，對任意形如8t±1的質數p，存在1≦m≦(p-1)/2使得p│m^2-2，令
m^2-2=pQ，顯然Q＜P，復根據命題三，Q=(2^a)×q，q是形如
8t±1的質數乘積。
假設本題對比p小的質數都成立，則根據歸納法假設及命題二，x^2-2×y^2=Q有整數解
(U,V)，不妨令U>0，V>0(因為UV≠0，證明略)。
接著看[(am+2b)/p]^2-N[(a+mb)/p]^2=Q 【式1】
而(Vm+U)/p或(Vm-U)/p其中有一個必為整數──即為b的值，又a=pV-mb，代入式1後成
立，故根據命題一，命題A證明完畢。

證明的第二部分

設L≡a，N≡b mod m

（沒辦法顯示“大於”和“小於”符號！！）
且 -m/2(小於)a,b(小於等於)m/2 （例如m=5時，被5除的餘數0，1，2，3，4和-2，-1，0，1，2同餘）

L^2-2N^2=mp≡a^2-2b^2≡0 mod m
因此設a^2-2b^2=mc

(L^2-2N^2)(a^2-2b^2)=m^2 pc
將上式左邊乘開後進行配方（配上4LaNb）可以得到下式

(La+2Nb)^2-2(Lb+Na)^2=m^2pc，兩邊除m^2
[(La+2Nb)/m]^2-2[(Lb+Na)/m]^2=pc

由於-m/2(小於)a,b(小於等於)m/2
(m^2)/4+(m^2)/4
=(m^2)/2
(大於等於)a^2+b^2
(大於)a^2-2b^2=mc ，在不等式兩邊除m得到

m/2(大於)c ，因此還有更小的c使得
[(La+2Nb)/m]^2-2[(Lb+Na)/m]^2=pc成立，
也就是與令L^2-2N^2=mp成立的最小的m矛盾。

另外c≠0，否則代入後會推出a/b= ±√ 2，矛盾。

綜上所述，L^2-2N^2=p 對任何質數p≡±1 mod8有解。

現在來證明2x^2-y^2=p也有解。利用配方法，可將原式變形為

2x^2-y^2=(2x+y)^2-2(x+y)^2

只要令L=2x+y，N=x+y即x=L-N，y=2N-L
2x^2-y^2=p總是有解，即

2x^2=y^2+(8t±1) 當為t正整數 且8t±1為質數時
必有正整數解(x,y)，證畢。