有一凸四邊形ABCD，已知AD=CD，角DAB=角ABC，一直線過D和BC的中點交直線AB於E。
求證：角BEC=角DAC
國中

回應

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-09 06:21
最難弄的是那個中點
不知道要怎麼用這個條件......

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-10 07:03
終於弄出一點頭緒了!!
我掌握到了一個我覺得很重要的線索!!

要先證明三角形BCE相似於三角形CAE

因為如果角BEC=角DAC
那麼BCE=ABC-BEC=DAB-DAC=BAC(角字省略)
角BEC共用
由AA相似性質可得三角形BCE相似於三角形CAE

反之亦可證當三角形BCE相似於三角形CAE時
角BEC=角DAC

不過也可能反而更困難
僅供參考就是了......

simon89889

2010-09-11 01:45
其實我已經找了一狗票了...
啥共圓,相似和角相等似乎都是同一件事...
旋轉和位似變換畫的滿滿滿...
我推到CE是角BCD的外角平分線

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-11 05:37
真巧,我也正好想問你CE會不會是角BCD的外角平分線呢!!
用尺規做圖畫出來後就覺得是這樣
不過我還沒開始想為什麼......
還有,請問你是由本來的條件證得
還是由本來的條件再加上要證的來證得??

本來想先證證看CE^2=BExAE
這樣用SAS相似性質就出來了
我還剩下AD=CD,DE過BC的中點兩個條件還沒用到
而我到這裡就跟你一樣卡關了......

一起努力吧!!

simon89889

2010-09-11 07:59
需要證明是外角平分線的外分比在許多比例線段內就可以找到了
剛剛..
畫完發現....
2角BCE+角ACD=角ABC+角BAC=角CAD+2角BAC(角ACD=角CAD)
所以角BAC=角BCE...
於是要證的東西就顯然了...
想想我應該是自己迷糊了...

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-11 15:23
這也是為啥我要問你你是由原本條件證出的
還是加上要證的證出

因為如果是由原本條件證出的
那麼我就解決了......

simon89889

2010-09-11 18:51
重點大概就是那個外角平分線而已
然後我推出來了所以就作完了= =

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-12 04:35
引用：

simon89889 寫道:
需要證明是外角平分線的外分比在許多比例線段內就可以找到了...

哪些比例線段??

myfund168

2010-09-13 18:48
凸四邊形ABCD，已知AD=CD，角DAB=角ABC
這些條件已經可以決定(畫出)角DAC；
但是角BEC要加上 [一直線過D和BC的中點交直線AB於E] 這條件，才能決定(畫出)。

也就是說，沒有用上[一直線過D和BC的中點交直線AB於E] 這條件，角DAC是固定的，而角BEC不是定值，角BEC=角DAC一定證明不出來！

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-14 04:48
為何角DAC是定值??
好像是你錯了吧......

myfund168

2010-09-14 05:44
我說清楚些：
若有一凸四邊形ABCD，AD=CD，角DAB=角ABC。
這時角DAC已經決定(可以畫出)。

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-14 07:19
這個我知道啊
但是本來就有那個條件啊
(一直線過D點且與AB交於E)
所以應該是可以證的

myfund168

2010-09-21 07:12
請問這題從何而來？
還有，真的沒人解得開嗎？
＂一直線過D和BC的中點交直線AB於E＂應該是一定要用到的條件，但是如何用呢？

simon89889

2010-09-21 14:41
那個條件在梅涅勞斯定理換線段用的到，可以證明外分比推出外角平分線，然後就作完了

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-22 21:46
梅內勞斯定理大概在幾個禮拜前我才背起來的
不過還沒有實際使用過它......

myfund168

2010-09-25 02:48
simon89889 說的
(令DE交BC於F，交CA於G)
外分比推出外角平分線應該指:
若能證明 CD:CF=DE:EF 就能得 CE是ΔCDF的外角平分線，就能證明∠BEC=∠CAD

梅涅勞斯定理指的可能是ΔABC：CG/GA*AE/BE=1 (∵BF/CF=1)

但是從CG/GA*AE/BE=1 好像無法證明CD:CF=DE:EF
麻煩再說明一下。

yankeerock1

2010-09-25 06:13
幫他解釋一下
另AB 和CD教於K
遊梅內勞斯定理有KE/EB*CD/DK=1
又在三角形ADK和BCK中由正弦定理(算一下角度)有KC/BC=KD/DA=KD/DC=KE/EB
就得到CE是外角平分線
這個做法真簡潔
真是強大

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-25 07:01
再加上正弦定理沒學過,我真的是不太可能會了......

myfund168

2010-09-25 20:37
1.正弦定理好像不是這樣啊？！
2.若共用∠K，就可得KC/BC=KD/DA，也是怪怪的。
BC長度不變，DK上應該另有一點C’ (及另一點D′)
那是 KC/BC=KD/DA 或 KC’/BC=KD/DA ？?

請再說明一下。

yankeerock1

2010-09-26 00:43
角KAD和角KBC互補
又共用角K
KD/DA=sinKAD/sinK=sinKBC/sinK=KC/BC


C’是幹嘛的阿 看不懂 沒辦法解釋

myfund168

2010-09-26 05:28
懂了。Thanks.

∵DA/DE
=sin∠AED/sin∠EAD (正弦定理)
=sin∠AED/sin∠EBF (∵∠ABC=∠BAD)
=BF/EF (正弦定理)
∴CD/DE=CF/EF (∵DA=CD, BF=CF)
得 CD/CF=DE/EF
CE是∆CDF外角平分線
∠BEC
=∠ABC-∠BCE
=∠ABC-1/2(∠ABC+∠BAC-∠ACD)
=∠ABC-1/2(∠BAD+∠BAC-∠CAD)
=∠ABC-∠BAC
=∠CAD

突然發現，好像沒用到梅氏定理啊！

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-26 07:00
幾何的特性就是很多種解法
應該用梅氏定理或正弦定理都可以解吧......
不過梅氏定理我從來沒用過,正弦定理又根本只有聽過(內容不知)
所以兩種解法我都無法幫忙解釋......

simon89889

2010-09-26 07:49
我用梅氏但沒用到正弦定理...
若不是基於比賽急迫我盡量不想用三角函數，總覺得這樣不太美...

myfund168

2010-09-26 08:30
請問simon89889是何方神聖？真的好厲害！

令BC交AD於M
BM/BF*EF/DE*DA/AM=1 (梅氏定理)
DA/BF*EF/DE=1 (∵∠ABC=∠BAD)
∴CD/CF=DE/EF (∵DA=CD, BF=CF)
CE是∆CDF外角平分線
以下相同

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-29 06:22
引用：

myfund168 寫道:
請問simon89889是何方神聖？真的好厲害！

令BC交AD於M
BM/BF*EF/DE*DA/AM=1 (梅氏定理)
DA/BF*EF/DE=1 (∵∠ABC=∠BAD)
∴CD/CF=DE/EF (∵DA=CD, BF=CF)
CE是∆CDF外角平分線
以下相同

為何你的梅氏定理與我背的不同??