最近想到的一個研究題材
有些遊戲用擲骰子前進,如果靠進終點時
投出的點數太大了,那麼將會折返會去,再投一次再前進
投的點數剛好,則會到達終點而獲勝

現在的問題是:
假設用一顆有1,2,3,4,5,6點的公平骰子來玩
(公平骰子即投出1,2,3,4,5,6點的機率都一樣)
且不折返要前進n格才會到達終點
那麼不折返,剛好直接走到終點的機率為何??
(假設遊戲中沒有會前進或後退的格子)

我這是第一次研究此類問題
大家有什麼建議嗎??
煩請指教,謝謝!!
學習討論區

回應

celine.yang06

2010-09-19 18:46
學我用暴力法吧
慢慢討論
n=1時
1=1
即有1/6的機率
n=2
2=2=1+1
第一次丟到2有1/6
連兩次丟到1有1/36
即有7/36的機率
n=3時
3=3=2+1=1+2=1+1+1
第一次丟到3有1/6
丟到1+2或2+1有2/36
丟到1+1+1有1/216
即有49/216的機率
n=4時
4=4=3+1=2+2=2+1+1=1+3=1+2+1=1+1+2=1+1+1+1
……

所以實際上是研究整數的分拆
且要注意
丟1次可到達的範圍是1-6
丟2次可到達的範圍是2-12
丟3次可到達的範圍是3-18
丟4次可到達的範圍是4-24
丟n次可到達的範圍是n-6n
上限下限都確定
才不會算出來機率大於1

celine.yang06

2010-09-19 18:57
若怕遺漏的話
可以先把所有分拆方法列出
再去除不可能的（ex：7+1有7）
整數n有2^(n-1)種分法
解釋如下圖
1_ _1_ _1_ _1
若用加號把1連起來
可涵蓋每1種分法
且不重複

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-19 20:01
所以你的答案是什麼??
2^(n-1)種分法是必然的(若要包括7,8,9...)
因為n的分法可分為第一個為1,2,3,4...n-1,n來做
而後面分別=n-1,n-2,n-3...2,1的分法,把n分開來他是1種
所以用數歸易知是2^(n-1)種分法

celine.yang06

2010-09-19 20:10
引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
所以你的答案是什麼??
2^(n-1)種分法是必然的(若要包括7,8,9...)
因為n的分法可分為第一個為1,2,3,4...n-1,n來做
而後面分別=n-1,n-2,n-3...2,1的分法,把n分開來他是1種
所以用數歸易知是2^(n-1)種分法

我還沒算出來

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-20 01:10
我終於想通了......
我一直在想這兩個到底哪一個對:
設f(n)=n格時直接到達終點的機率
(1)當n>6時,f(n)=[f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6)]/6
(2)當n>0時,f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+f(n+4)+f(n+5)=1
因為當兩者皆成立會矛盾
所以一直在想,結果想通了,是第一個對了
第二個會超過1,就像我再多加一個f(n+6),就會再更大
本來想說因為只有1,2,3,4,5,6點
所以連續6個中,必經過其中一個,加起來機率就是1......


想通後,就有大進展了,我可以改題成這樣
當n>6時,f(n)=[f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6)]/6
已知f(1)=1/6
f(2)=7f(1)/6
f(3)=7f(2)/6
f(4)=7f(3)/6
f(5)=7f(4)/6
f(6)=7f(5)/6
求f(n)=??

WENDYCHI

2010-09-20 03:17
這就是(爬樓梯問題可能數)/(所有可能數)
1 2 4 8 16 32 63 125
F(N+6)=FN+F(N+1)+F(N+2)+...+F(N+5)
好像是這樣吧

--------

又好像有點錯

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-20 05:56
我補一下我上面寫的東西的說明好了


當n>6時,f(n)=[f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6)]/6
這是因為當前面擲的x次骰子點數要固定時
成功的機率是(1/6)^x
而當n>6時,可將n寫成:
(n-1)+1,(n-2)+2,(n-3)+3,(n-4)+4,(n-5)+5,(n-6)+6
單看n=(n-1)+1的話(其他也是同理)
也就是說,n-1由1,2,3,4,5,6所組成的每一種解
其中一解分成x個數的和,機率就是(1/6)^x
而這一組解以n來看,就是再多加一個1,機率是(1/6)^(x+1)
n-1分出的每一種解以n來看都是1/6倍
當然n的機率就是n-1的1/6倍
在寫成(n-2)+2,(n-3)+3,(n-4)+4,(n-5)+5,(n-6)+6時
也一樣是1/6倍
所以當n>6時
f(n)=[f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6)]/6


真的超級難解釋,反正應該跟你所說的爬樓梯問題道理很像吧......


f(1)=1/6
f(2)=7f(1)/6
f(3)=7f(2)/6
f(4)=7f(3)/6
f(5)=7f(4)/6
f(6)=7f(5)/6


道理也差不多
用數學歸納法證得
(用上面的道理,得n小於等於6時,f(n)=(f(1)+...+f(n-1))/6再加1/6)
(懶的注意大小括弧了,今天感覺好累......)

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-21 05:12
我又發現了一件事
如果骰子換成1,2點的公平骰子
那麼當n越大時,其機率就越接近2/3
如果n=9,那麼其機率就是2/3再減掉1/1536
n>9,則其機率會更接近2/3
(能證明,但有點長不寫了)


所以現在我猜測骰子如果是有1,2,3,4,5,6點的公平骰子
則當n越大時,其機率也會越來越接近某個值
所以能麻煩誰幫我用暴力法試驗n=7,8,9,10,11,12時
其機率是否會越來越接近某個值??
(我猜測會越來越接近2/7)

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-23 00:57
不用了,謝謝
是2/7,我猜對了
想不到我還是研究成功了!!
(別的討論區幫我找出那個值的,應該不會有錯吧......)

zaq1bgt5cde3mju7

2010-09-24 05:04
更一般化的,有1,2,3...k點的公平骰子
當n越大時,那麼其機率就越靠近2/(k+1)
我自己證出來了XD!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(雖然會講,不過我不知道怎麼寫......)

這樣就真的圓滿的研究成功了!!