※ 每題必須詳細寫下證明及理由，只寫答案不一定有分數。

1. 有一台兌換機可將L國幣1元兌換成M國幣S元，亦可將M國幣1元兌換成L國幣1/S 元，其中S是正實數。兌換機吐出的金額採四捨五入至整數元。
(a) 用此機器將若干L國幣兌換成M國幣，再將所換到的M國幣全部換回L國幣。請問經過一次上述兌換後，最後所得的L國幣是否有可能比原來的錢多？（二分）
(b) 假設上述的答案為「可能」，將手中所有的錢幣不斷地全部一起反覆兌換。請問所得的錢是否有可能會不斷地增多？（三分）

2. 有一個凸四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，且其相交於點O。已知三角形AOB、三角形COD的內切圓半徑之和等於三角形BOC、三角形DOA的內切圓半徑之和。
(a) 請證明四邊形ABCD有內切圓。（二分）
(b) 請證明四邊形ABCD對稱於其中一條對角線。（三分）

3. 一座警察局位於兩端都可無限延伸僅有的一條直線公路上，一位小偷從警察局偷了一輛汽車。這輛汽車的最大速度等於巡邏警車最大速度的90%。當大家發現車子被偷了，一位警察打算開巡邏警車去緝捕這位小偷，但他不知道小偷沿著公路朝哪個方向逃跑。請問警察是否有數學的策略保證能緝捕到小偷？請詳述您的理由。(註：此題純為數學問題，不考慮小偷何時偷車、油料多寡、人的壽命、….等各項因素)（五分）

4. 將一塊大正方形木板以n－1條水平線與n－1條鉛垂線劃分為 個小矩形。將這些小矩形格子黑白相間塗色。若此大正方形的某一對角線恰好通過n個黑色的正方形。請證明所有黑色的小格子之總面積不小於所有白色小格子之總面積。（五分）

5. 有一項競賽共有55位參賽者，每場比賽都由兩位選手配對進行淘汰賽，且一場賽完後才接著賽下一場，輸者立即被淘汰出局。每場比賽中，兩位配對的選手截至此場比賽前之勝局數量之差都不得超過1局。請問此競賽中的獲得冠軍之選手最多共可贏多少局？（五分）


《成績是取最高得分三題的總和，考試時間四小時。》
國中

回應

孫文先

2010-11-21 10:16

S=1/2不是較簡單.

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
1.(a)假設S=2/3
那麼一開始將3/2元的L國幣投入兌換機,可得1元M國幣
再將此1元M國幣投入兌換機,可得2元的L國幣
最後所得的L國幣比原來的還多(2>3/2),故答案為可能

zaq1bgt5cde3mju7

2010-11-21 18:22
也是啦,不過我的原想法為:
取S和投入的L國幣金額x互為倒數
這樣最後出來的即是將x四捨五入的L國幣金額
故隨便取一個會進入而非捨去的數1.5,即x=3/2,而S=2/3


另外,圓外切四邊形的逆定理是否成立??
引用：
S=1/2不是較簡單.
引用：


zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
1.(a)假設S=2/3
那麼一開始將3/2元的L國幣投入兌換機,可得1元M國幣
再將此1元M國幣投入兌換機,可得2元的L國幣
最後所得的L國幣比原來的還多(2>3/2),故答案為可能

zaq1bgt5cde3mju7

2010-11-21 23:39
第一題的(b)好難
第5題雖然還沒算,但我想應該跟55=1+2+3+...10有關


2.由直角三角形內切圓的半徑=(兩股和-斜邊)/2
可根據題意列式:
(AO+BO-AB)/2 + (CO+DO-CD)/2=(BO+CO-BC)/2 + (AO+DO-AD)/2
整理可得AB+CD=BC+AD------(1)
AB^2 + CD^2=(AO^2 + BO^2)+(CO^2 + DO^2)=
(BO^2 + CO^2)+(AO^2 + DO^2)=BC^2 + AD^2------(2)
[(1)^2 - (2)]/2 => ABxCD=BCxAD
設AB+CD=BC+AD=p,ABxCD=BCxAD=q
則AB,CD和BC,AD的長度皆為x^2-px+q=0的兩根
可知AB=BC,CD=AD或AB=AD,CD=BC
從而四邊形ABCD為箏形,故(a),(b)皆獲證

zaq1bgt5cde3mju7

2010-11-22 00:36
4.若對角線通過一個黑正方形的頂點算通過此正方形嗎??

3.沒時間打詳細解答了,概略說一下
有,策略:右1分鐘,左20分鐘,右20^2分鐘,左20^3分鐘...
如此這樣即可
證明:若小偷走右邊,那麼在追到之前
向左開1分鐘相當於遠離小偷190%的巡邏車分速
向右開1分鐘相當於靠近小偷10%2呃巡邏車分速
把策略看成[右1分鐘][左20分鐘,右20^2分鐘][左20^3分鐘,右20^4分鐘]...
那麼可知每個括弧分別靠近小偷10,200,4000,80000...%的巡邏車之分速(很容易證明會這樣)
這樣,總有一天會追到
類似道理可證小偷往左邊的
若小偷在往一個方向走後折返或停住,此策略依然可用
若一開始就停在那裡,那更不用說了

WENDYCHI

2010-11-22 20:07
4.每次經過一條線就換一個顏色
(經過直橫線的交點等於經過兩條線)
因此對角線最多只會經過n個黑色的矩形
因此對角線每次都會經過交點
如圖

可得黑格子面積總合-白格子面積總合
=(A-B+C-D+...+N)^2>=0

zaq1bgt5cde3mju7

2010-11-22 21:42
第4題我的解法跟你相同
但我沒證出圖形一定會長這樣,只是猜測

1.(b)原來我搞錯題意了,重看了題目就解出來了
假設金錢可不斷的增多,設投入X元L國幣
出來的會是XS+P元的M國幣(1/2>=P>-1/2)
再投回去出來的是X+(P/S)四捨五入後的L國幣
而X+(P/S)四捨五入後必須大於X(因為不斷增多)
故P/S>=1/2,2P>=S,1>=2P>=S(1/2>=P>-1/2),1>=S
若S=1,則第一次兌換出來的金額為整數,再兌換一次則不變,與假設矛盾
若1>S,則1/S>1,由上面同理可證
三次兌換後的金額要大於一次兌換後的金額
而前題為1>=1/S,故矛盾
故答案為否


5.
答:13局
解法:若有一人勝X局,則最後一場比賽時
他勝的局數只能是X或X-1局(比完後可能淘汰或多勝一局)
能和他比的人只能是勝X-1,X,X+1局或X-2,X-1,X局
比完後對手勝的局數只能是X,X+1,X+2局或X-2,X-1,X局
(相對的對手比完後是多勝一局或淘汰)
必勝X-2局以上,故假設有一人勝14局以上
那麼必有人勝12,10,8,6,4,2局以上
但2+4+6+...+14=56>55-1,故不可能有人勝14局以上
(55-1是指總場數,54場比完才能淘汰54人產生冠軍)
冠軍勝13局的例子如下:
...........................................


不用看了,突然發覺我算錯了!!

ricktu

2010-11-22 23:21
第3題:
我的想法:

圖中X軸為位置,Y軸為時間,黑線為警察局的位置
藍線和綠線為兩條小偷可能走的路
假設有兩位警察,分別走兩條紅色虛線,那一定能抓到小偷(紅色虛線的斜率比藍線,綠線大)
現在只有一位警察(紅色實線),若斜率比紅色虛線大,則可以來回碰到兩條紅色虛線,也可以遇到小偷

zaq1bgt5cde3mju7

2010-11-23 22:43
確實啦,我上面已經寫答案了,答:13局
但跟費波那西數列亦無關,數字無玄機
我爸說我花太多時間打詳細解答了,粗略寫
2+4+6+...+14=56>55-1,故14局以上不可能
而13局已找出例子(找例子時會覺得數字很巧,其實不然)
另外,我第三題的策略和第五題的解法找時間慢慢補上(我會用編輯的)

santion1

2010-11-23 23:51
但是警車速率應該都是以最高速率前進
所以虛線跟實線的斜率應該會一樣才對阿
若實線斜率較大
也就代表一個警察時(實線)的警車
比另外兩位警察開的警車(虛線)來快不是嗎??

引用：

ricktu 寫道:
第3題:

圖中X軸為位置,Y軸為時間,黑線為警察局的位置
藍線和綠線為兩條小偷可能走的路
假設有兩位警察,分別走兩條紅色虛線,那一定能抓到小偷(紅色虛線的斜率比藍線,綠線大)
現在只有一位警察(紅色實線),若斜率比紅色虛線大,則可以來回碰到兩條紅色虛線,也可以遇到小偷

WENDYCHI

2010-11-24 22:08
引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
1.(b)原來我搞錯題意了,重看了題目就解出來了
假設金錢可不斷的增多,設投入X元L國幣
出來的會是XS+P元的M國幣(1/2>=P>-1/2)
再投回去出來的是X+(P/S)四捨五入後的L國幣
而X+(P/S)四捨五入後必須大於X(因為不斷增多)
故P/S>=1/2,2P>=S,1>=2P>=S(1/2>=P>-1/2),1>=S
若S=1,則第一次兌換出來的金額為整數,再兌換一次則不變,與假設矛盾
若1>S,則1/S>1,由上面同理可證
三次兌換後的金額要大於一次兌換後的金額
而前題為1>=1/S,故矛盾
故答案為否


我比較想知道1.99999...可不可以 :-D

ricktu

2010-11-24 22:15
小偷速率＜"虛擬警車"(紅色虛線)速率＜警車速率

追小偷的步驟:
1.讓兩輛比小偷快的"虛擬警車"分別向左右兩邊尋找小偷(因為比小偷快,其中一定有一輛會遇到小偷)
2.等一段時間(很短也沒關係,但不能為0,否則警車將會在第一刻無限的來回震盪...雖然不會拖延時間(好奇怪))
3.真實警察開真實警車往右邊走,直到追到右邊的虛擬警車(因為比虛擬警車快,一定能追到虛擬警車)
4.真實警車往左邊走,直到追到左邊的虛擬警車,(因為比虛擬警車快,一定能追到虛擬警車)
重複3,4
在其中一邊的虛擬警車追過小偷後的下一次真實警車走向該虛擬警車時,在途中就會遇到小偷