環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題

※ 每題必須詳細寫下證明及理由，只寫答案不一定有分數。
1. 平面上有A1, A2, …., A100 一百個點，丈量出這些點兩兩之間的距離，並在紙上記錄出所有4950個距離D(Ai, Aj)=dij。
(a) 僅有一個記錄D(A1, A2)=d12被擦除。請問利用剩下來的資料是否保證可以正確地重新填回這個資料？（二分）
(b) 假設任意三點不在同一直線上，其中有k個記錄被擦除，請問保證可以正確地重新填回所有資料的最大k值是什麼？（三分）
2. 在一個圓形跑道上，2n位自行車選手同時從同一點同向以不同的均勻速度出發。若兩位自行車選手在同時刻再度位於同地點，則稱之為「相遇」。已知沒有三位或三位以上的自行車選手同時刻相遇在同一點。任兩位自行車選手都至少再相遇過一次，請證明在最後一對選手第一次相遇之際，每位自行車選手與其他選手相遇次數之總和至少 次。（六分）
3. 任意給定一個多邊形，將每一個邊長除以其他所有邊長之總和，再將所得之所有分數值相加，請證明所得之和小於2。（六分）
4. 兩位魔法師在海平面上方100公尺處互相鬥智。他們輪流施行咒語，而每次咒語之形式都如：「將我的高度降a公尺並將我的對手的高度降b公尺。」其中a、b為實數且b>a>0，不同的咒語有不同的a與b值。兩人所採用咒語的集合相同，這些咒語可用任何順序施行，且同一咒語可施行許多次。如果施行完某個咒語後，能使他自己仍保持在水面之上方而他的對手則在水面之下方，便稱這一位魔法師獲勝。
(a) 請問是否存在一組咒語之數量為有限多個的集合，使得後手的魔法師保證有策略可以獲勝？（二分）
(b) 請問是否存在一組咒語之數量為無限多個的集合，使得後手的魔法師保證有策略可以獲勝？（五分）
5. 四邊形ABCD內接於圓O，其對角線AC與BD均不通過圓心O。假設三角形AOC外接圓的圓心落在直線BD上，請證明三角形BOD之外接圓的圓心落在直線AC上。（八分）
6. 在1000×1000方格表的每個小方格內都填入一個0或1。請證明我們保證可以從此方格表中找到10列，使得這10列中的每一行都至少有一個小方格內的數是1；或者可以找到10行，使得這10行中的每一列中都至少有一個小方格內的數是0。（十二分）
7. 將一個正方形切為若干個全等的矩形，這些矩形的邊長都是整數。一個矩形若與正方形由左上至右下的對角線至少有一個交點，則我們稱此矩形為「核心矩形」。請證明這條對角線平分這些「核心矩形」的總面積。（十四分）
《成績是取最高得分三題的總和，考試時間五小時。》