機率問題一題

(N-1)分之1嗎
ps
純屬猜測

引用：

d22538366 寫道:
(N-1)分之1嗎
ps
純屬猜測

錯了
N代入1就知道是錯
反正當N代入1時，機率是100%
所以我猜是1/N

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

d22538366 寫道:
(N-1)分之1嗎
ps
純屬猜測

錯了
N代入1就知道是錯
反正當N代入1時，機率是100%
所以我猜是1/N

3個點答案是1/3
4個點答案是1/4
5個以上還不清楚...

如何算的？
不過如果用歸納法，那麼基本上就是1/N了吧？

我怎麼覺得是1/n^2阿(n個不包括O點)..
我剛看而已別砲我= =

在圓的邊上算在圓內嗎?
對N≧2時影響不大
但對N=1影響非常大
N=1時答案不是1就是0
N=2時很容易知道是1/3
N≧3就很難了

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

d22538366 寫道:
(N-1)分之1嗎
ps
純屬猜測

錯了
N代入1就知道是錯
反正當N代入1時，機率是100%
所以我猜是1/N

3個點答案是1/3
4個點答案是1/4
5個以上還不清楚...

如何算的？
不過如果用歸納法，那麼基本上就是1/N了吧？

有N+1個點歐
這題好像沒那麼容易歸納

為什麼沒有容易？？？？？

引用：

ricktu 寫道:
在圓的邊上算在圓內嗎?
對N≧2時影響不大
但對N=1影響非常大
N=1時答案不是1就是0
N=2時很容易知道是1/3
N≧3就很難了

怎麼求1/3的？
我不會解？
就算N是定值

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

ricktu 寫道:
在圓的邊上算在圓內嗎?
對N≧2時影響不大
但對N=1影響非常大
N=1時答案不是1就是0
N=2時很容易知道是1/3
N≧3就很難了

怎麼求1/3的？
我不會解？
就算N是定值

A1也畫一個圓
答案就出來了

所以是1/(2N-1)

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

ricktu 寫道:
在圓的邊上算在圓內嗎?
對N≧2時影響不大
但對N=1影響非常大
N=1時答案不是1就是0
N=2時很容易知道是1/3
N≧3就很難了

怎麼求1/3的？
我不會解？
就算N是定值

A1也畫一個圓
答案就出來了

所以是1/(2N-1)

沒那麼簡單拉= =

不會扯到二次方那裡去吧？
很遠ㄝ！

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

ricktu 寫道:
在圓的邊上算在圓內嗎?
對N≧2時影響不大
但對N=1影響非常大
N=1時答案不是1就是0
N=2時很容易知道是1/3
N≧3就很難了

怎麼求1/3的？
我不會解？
就算N是定值

A1也畫一個圓
答案就出來了

所以是1/(2N-1)

沒那麼簡單拉= =

不會扯到二次方那裡去吧？
很遠ㄝ！

應該不只
可能會扯到非初等代數
(個人觀感)

哇
又是一個我不認識的東東
看無看無啦

的確
有些機率問題的答案甚至和pi有關
例如考慮任意三個隨機抽取的正整數，它們之間互素的機率正是阿培里常數的倒數
ps阿培里常數=ζ(3)
(不要問我為什麼.我不會)

引用：

d22538366 寫道:
的確
有些機率問題的答案甚至和pi有關
例如考慮任意三個隨機抽取的正整數，它們之間互素的機率正是阿培里常數的倒數
ps阿培里常數=ζ(3)
(不要問我為什麼.我不會)

互素是什麼？
阿培里常數又是什麼？

互素就是互質的意思

黎曼函數
ζ(n)=1/(1^n)+1/(2^n)+1/(3^n)......+1/(無限大^n)

阿培里常數，我不知道ㄟ

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

j2006mouse 寫道:
互素就是互質的意思

黎曼函數
ζ(n)=1/(1^n)+1/(2^n)+1/(3^n)......+1/(無限大^n)

阿培里常數，我不知道ㄟ

我對黎曼函數很反胃= =為甚麼ζ(-2)=0?
阿培里常數=ζ(3)

阿培里常數=ζ(3)這我知道
只是能不能化成一個明確的數呢(根式或pi之類的)

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

j2006mouse 寫道:
互素就是互質的意思

黎曼函數
ζ(n)=1/(1^n)+1/(2^n)+1/(3^n)......+1/(無限大^n)

阿培里常數，我不知道ㄟ

我對黎曼函數很反胃= =為甚麼ζ(-2)=0?
阿培里常數=ζ(3)

好像是ζ(-2n)=0 (n為正整數)
但也不知道為什麼

ζ(3)是多少依然是懸而未決的
只知道它是個無理數
多項式和無理數(簡體)這本書p581
有給出證明(我還看不懂.看似是用到多重積分)

引用：

d22538366 寫道:
ζ(3)是多少依然是懸而未決的
只知道它是個無理數
多項式和無理數(簡體)這本書p581
有給出證明(我還看不懂.看似是用到多重積分)

那它為何稱做「阿培理」常數?

事實上，黎曼ζ函數在偶數上的取值是容易求得的，在奇數上的取值則遠未有一般性成果。這個常數以數學家羅傑·阿培里命名，因為後者在1978年證明了它是一個無理數。
我給的網址上複製來的

引用：

d22538366 寫道:
的確
有些機率問題的答案甚至和pi有關
例如考慮任意三個隨機抽取的正整數，它們之間互素的機率正是阿培里常數的倒數
ps阿培里常數=ζ(3)
(不要問我為什麼.我不會)

還有一個例子
取一枚長度為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的機率是圓周率的倒數

我覺得這和以前有道題
說一根竹竿切成3段
求那3段拼成一個三角形的機率
的題目差不多
本人感覺它們的解答應該不是我們國高中生可以理解的
等我以後學完機率論再想好了

n=3的時候機率為1/4，我算出來了，以下是非高等代數的解法：
觀察A(2)這個點，它因為最多就是一直從點O往外跑，所以一定會在以點O做半徑為2的圓的這個範圍內。
而因為這個範圍內的每個點(除圓心、圓周)都只有兩種走法可走到，所以每個點會走到的機率都一樣。
以下令O→A(1)這一步呈水平向右。
觀察A(1)→A(2)這一步，假設這一步它會走x度，且這一步不會在OA(1)的下方。而x度的定義是：往圓心走為0度，繼續往右走到距離點O 2單位長的地方是180度，中間就均分為180等分。
事實上，因為往上往下的機率相同，所以不考慮A(1)A(2)會在OA(1)下方是可以的。
當走了A(1)→A(2)這一步後，點O、A(1)、A(2)可形成一個等腰三角形。以OA(2)為對稱軸將A(1)複製過去到另一側，並將那個點稱為A(1)'，角A(1)OA(1)'的角度/360度即為我們要求的A(3)會落在範圍內的機率。
而因為OA(1)=A(1)A(2)=OA(1)'=A(1)'A(2)，所以OA(1)A(2)A(1)'為菱形，即角A(1)A(2)A(1)'=(180-x)度
而對於A(2)會出現的可能性形成的半圓弧上，因為有無限個點，所以每個點的出現機率為1/(無限大)，而這些機率的值也會有無限個，所以我們要求的就是：{所有[(180-x)/360]的值的和}/(無限大)
即{[(首項+末項)*項數/2]/360}/(無限大)
=[(180+0)*(無限大)/720]/(無限大)
=180/720
=1/4
即A(3)會落在距離點O 1單位的圓內的機率為1/4。
我懷疑整個答案為1/(n+1)。

我覺得可以開始用數歸了，今天或許答案就可出來了。

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

justpoppingin 寫道:
n=3的時候機率為1/4，我算出來了，以下是非高等代數的解法：
觀察A(2)這個點，它因為最多就是一直從點O往外跑，所以一定會在以點O做半徑為2的圓的這個範圍內。
而因為這個範圍內的每個點(除圓心、圓周)都只有兩種走法可走到，所以每個點會走到的機率都一樣。
以下令O→A(1)這一步呈水平向右。
觀察A(1)→A(2)這一步，假設這一步它會走x度，且這一步不會在OA(1)的下方。而x度的定義是：往圓心走為0度，繼續往右走到距離點O 2單位長的地方是180度，中間就均分為180等分。
事實上，因為往上往下的機率相同，所以不考慮A(1)A(2)會在OA(1)下方是可以的。
當走了A(1)→A(2)這一步後，點O、A(1)、A(2)可形成一個等腰三角形。以OA(2)為對稱軸將A(1)複製過去到另一側，並將那個點稱為A(1)'，角A(1)OA(1)'的角度/360度即為我們要求的A(3)會落在範圍內的機率。
而因為OA(1)=A(1)A(2)=OA(1)'=A(1)'A(2)，所以OA(1)A(2)A(1)'為菱形，即角A(1)A(2)A(1)'=(180-x)度
而對於A(2)會出現的可能性形成的半圓弧上，因為有無限個點，所以每個點的出現機率為1/(無限大)，而這些機率的值也會有無限個，所以我們要求的就是：{所有[(180-x)/360]的值的和}/(無限大)
即{[(首項+末項)*項數/2]/360}/(無限大)
=[(180+0)*(無限大)/720]/(無限大)
=180/720
=1/4
即A(3)會落在距離點O 1單位的圓內的機率為1/4。
我懷疑整個答案為1/(n+1)。

嘛 我只能說 無限大不能相除 不嚴謹
不過我的方法是積分機率在0和1之間的區塊

他所謂的無限大相除
就只是n/n，n趨近無限而已吧？

引用：

justpoppingin 寫道:
n=3的時候機率為1/4，我算出來了，以下是非高等代數的解法：
觀察A(2)這個點，它因為最多就是一直從點O往外跑，所以一定會在以點O做半徑為2的圓的這個範圍內。
而因為這個範圍內的每個點(除圓心、圓周)都只有兩種走法可走到，所以每個點會走到的機率都一樣。
以下令O→A(1)這一步呈水平向右。
觀察A(1)→A(2)這一步，假設這一步它會走x度，且這一步不會在OA(1)的下方。而x度的定義是：往圓心走為0度，繼續往右走到距離點O 2單位長的地方是180度，中間就均分為180等分。
事實上，因為往上往下的機率相同，所以不考慮A(1)A(2)會在OA(1)下方是可以的。
當走了A(1)→A(2)這一步後，點O、A(1)、A(2)可形成一個等腰三角形。以OA(2)為對稱軸將A(1)複製過去到另一側，並將那個點稱為A(1)'，角A(1)OA(1)'的角度/360度即為我們要求的A(3)會落在範圍內的機率。
而因為OA(1)=A(1)A(2)=OA(1)'=A(1)'A(2)，所以OA(1)A(2)A(1)'為菱形，即角A(1)A(2)A(1)'=(180-x)度
而對於A(2)會出現的可能性形成的半圓弧上，因為有無限個點，所以每個點的出現機率為1/(無限大)，而這些機率的值也會有無限個，所以我們要求的就是：{所有[(180-x)/360]的值的和}/(無限大)
即{[(首項+末項)*項數/2]/360}/(無限大)
=[(180+0)*(無限大)/720]/(無限大)
=180/720
=1/4
即A(3)會落在距離點O 1單位的圓內的機率為1/4。
我懷疑整個答案為1/(n+1)。

不用那麼複雜吧？

…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

引用：

hansonyu123 寫道:
…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

現在我推的變成1/(n^2)了

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

ricktu 寫道:
在圓的邊上算在圓內嗎?
對N≧2時影響不大
但對N=1影響非常大
N=1時答案不是1就是0
N=2時很容易知道是1/3
N≧3就很難了

怎麼求1/3的？
我不會解？
就算N是定值

A1也畫一個圓
答案就出來了

所以是1/(2N-1)

沒那麼簡單拉= =

不會扯到二次方那裡去吧？
很遠ㄝ！

好吧
我跟我自己矛盾了…
我現在改成跟二次方有關
因為我認為這題跟面積有關

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:
…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

現在我推的變成1/(n^2)了

你想法太單純了
先問你一題
在圓上任取兩點作一弦，其長度大於1/2的機率是?

等等，你的1是多長?直徑?半徑?

引用：

justpoppingin 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:
…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

現在我推的變成1/(n^2)了

你想法太單純了
先問你一題
在圓上任取兩點作一弦，其長度大於1/2的機率是?

等等，你的1是多長?直徑?半徑?

算了...當我沒說，是把直徑當1吧，答案要說ㄇ?

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:
…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

現在我推的變成1/(n^2)了

你想法太單純了
先問你一題
在圓上任取兩點作一弦，其長度大於1/2的機率是?

1/3
定圓周上A點，再在圓周上找一B點，AB長大於1/2機率是多少？
是這樣子吧？
連OA、OB'、OA，則當AB'剛好等於1/2時，角AOB=60度，設AC為此圓的直徑，C在圓周上，則只要B在弧B'C上 長度就會大於1/2，由於對稱性，所以另一邊也是如此
機率為(以圓心角來說)=(60度*2)/360度=1/3

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:
…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

現在我推的變成1/(n^2)了

你想法太單純了
先問你一題
在圓上任取兩點作一弦，其長度大於1/2的機率是?

1/3
定圓周上A點，再在圓周上找一B點，AB長大於1/2機率是多少？
是這樣子吧？
連OA、OB'、OA，則當AB'剛好等於1/2時，角AOB=60度，設AC為此圓的直徑，C在圓周上，則只要B在弧B'C上 長度就會大於1/2，由於對稱性，所以另一邊也是如此
機率為(以圓心角來說)=(60度*2)/360度=1/3

這樣解應該是2/3
怎麼會以圓心角來說??

這題應該算是數學中的一個詭論
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_14/page3.html
用此三解法解出來為:
(根號3)/2,2/3,3/4
有三種答案

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:
…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

現在我推的變成1/(n^2)了

你想法太單純了
先問你一題
在圓上任取兩點作一弦，其長度大於1/2的機率是?

1/3
定圓周上A點，再在圓周上找一B點，AB長大於1/2機率是多少？
是這樣子吧？
連OA、OB'、OA，則當AB'剛好等於1/2時，角AOB=60度，設AC為此圓的直徑，C在圓周上，則只要B在弧B'C上 長度就會大於1/2，由於對稱性，所以另一邊也是如此
機率為(以圓心角來說)=(60度*2)/360度=1/3

這樣解應該是2/3
怎麼會以圓心角來說來說??

這題應該算是數學中的一個詭論
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_14/page3.html
用此三解法解出來為:
(根號3)/2,2/3,3/4
有三種答案

ㄎㄎ
打錯了

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:
…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

現在我推的變成1/(n^2)了

你想法太單純了
先問你一題
在圓上任取兩點作一弦，其長度大於1/2的機率是?

1/3
定圓周上A點，再在圓周上找一B點，AB長大於1/2機率是多少？
是這樣子吧？
連OA、OB'、OA，則當AB'剛好等於1/2時，角AOB=60度，設AC為此圓的直徑，C在圓周上，則只要B在弧B'C上 長度就會大於1/2，由於對稱性，所以另一邊也是如此
機率為(以圓心角來說)=(60度*2)/360度=1/3

這樣解應該是2/3
怎麼會以圓心角來說??

這題應該算是數學中的一個詭論
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_14/page3.html
用此三解法解出來為:
(根號3)/2,2/3,3/4
有三種答案

哦哦
真有趣
所以還一題的機率也會有很多種答案囉？

??????
看不懂......
解法1不是用面積,哪裡錯??
解法2你說對
解法3是用面積你說錯(雖然我看不懂你寫的)

此問題相當於:
有兩半徑分別為1/2,(根號3)/4的大小同心圓
再大圓上任作一弦,求此弦與小圓不相交的機率為何

若解法1,3錯誤
那文章錯了嗎??

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:
…
n=2時
我算是1/4ㄝ…
理由就是
A2可能出現的地方就在以O為圓心，以2為半徑的圓內
有4*π平方單位
而題目所要的圓是以O為圓心，以1為半徑的圓，面積是π平方單位
設每一平方單位裡有n個點，則
機率為
(π*n)/(4*π*n)
=1/4

現在我推的變成1/(n^2)了

你想法太單純了
先問你一題
在圓上任取兩點作一弦，其長度大於1/2的機率是?

1/3
定圓周上A點，再在圓周上找一B點，AB長大於1/2機率是多少？
是這樣子吧？
連OA、OB'、OA，則當AB'剛好等於1/2時，角AOB=60度，設AC為此圓的直徑，C在圓周上，則只要B在弧B'C上 長度就會大於1/2，由於對稱性，所以另一邊也是如此
機率為(以圓心角來說)=(60度*2)/360度=1/3

這樣解應該是2/3
怎麼會以圓心角來說??

這題應該算是數學中的一個詭論
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_14/page3.html
用此三解法解出來為:
(根號3)/2,2/3,3/4
有三種答案

哦哦
真有趣
所以還一題的機率也會有很多種答案囉？

不
原本的題目有限定取兩個圓周上的點
所以只有2/3是對的
你的算法是用面積
但並不是以設的平均機率算的

為什麼不是平均的？