已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了國中 回應 WENDYCHI Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-30 22:33 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ hansonyu123 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 08:13 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 我只求出最小值… 用構造法好像真的只能求最小值ㄝ… d22538366 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 12:53 引用： WENDYCHI 寫道: 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ 我算出來是 根號5小於M+N小於等於根號10 對嗎 左邊我用構造法(三角不等式) 右邊我用圓方程式 wade1537 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 12:54 最小直是根號5，最大值是跟號10。 我已經用WENDYCHI的方法求出最大值和最小值了～ hansonyu123 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 20:10 引用： d22538366 寫道: 引用： WENDYCHI 寫道: 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ 我算出來是 根號5小於M+N小於等於根號10 對嗎 左邊我用構造法(三角不等式) 右邊我用圓方程式 所以說圓方程可以算出最大值囉？ jhan Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 21:18 引用： hansonyu123 寫道: 所以說圓方程可以算出最大值囉？ 他是指座標平面上的圖形觀點 x^2+y^2=5 為一圓 作圓的切線x+y=k k可為...... 切點(x,y)為k的最大(小)值出現的條件 某些情況這個方法也不錯 d22538366 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 21:21 這方法是我自己臨時想出來的 第一次用......... jhan Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 22:58 引用： d22538366 寫道: 這方法是我自己臨時想出來的 第一次用......... 哦 那不是很好嗎XD dobjjj50472ggg Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-03-12 22:56 樓上老大說 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ (M^2+N^2)(1^2+1^2)>=(M+N)^2~~~~~柯西不等式 5＊2>=(M+N)^2 10>=(M+N)^2 10^(1/2)>=M+N>=－[10^(1/2)]~~~~~抱歉我不會打根號 但是M 和 N>=0 所以最小值我沒有比較好的方法ㄟ 高手指點巴 應該沒錯吧 我常犯錯QQ WENDYCHI Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-03-12 23:11 引用： dobjjj50472ggg 寫道: 樓上老大說 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ (M^2+N^2)(1^2+1^2)>=(M+N)^2~~~~~柯西不等式 5＊2>=(M+N)^2 10>=(M+N)^2 10^(1/2)>=M+N>=－[10^(1/2)]~~~~~抱歉我不會根號 但是M 和 N>=0 所以最小值我沒有比較好的方法ㄟ 高手指點巴 應該沒錯吧 我常犯錯QQ 2(M^2+N^2)大於等於M^2+N^2+2MN=(M+N)^2 10大於等於(M+N)^2---------------(M=N時等號) 10^(1/2)大於等於M+N A:根號十 hansonyu123 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-08-31 21:05 引用： WENDYCHI 寫道: 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ 如果說這樣寫可以嗎 前提就是這下面的命題成立，我的解法就ok了 引理：假設0<c<a<b，且 則√a-√(a-c)>√b-√(b-c) 上面的不知道怎麼證 繼續解 假設√(3-x)=√a √(4-y)=√b 則a+b=5 令a'=b'=2.5 則√(3-x')+√(4-y')=√10 假設有其它的a，b且a=a'-c，b=b'+c(c>0) 則√(3-x)+√(4-y)=√(2.5+c)+√(2.5-c) 由引理可知 √(2.5+c)-√(2.5)<√(2.5)-√(2.5-c) 所以√(2.5+c)+√(2.5-c)<√10 故√10為最大值 如果上面的是對的 那麼簡單來說 若x+y=a 則√(b-x)+√(c-y)的最大值為2*√(b+c-a) 前題是√b+c-a要是實數 hansonyu123 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-08-31 21:11 引用： hansonyu123 寫道: 引用： WENDYCHI 寫道: 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ 如果說這樣寫可以嗎 前提就是這下面的命題成立，我的解法就ok了 引理：假設0<c<a<b，且 則√a-√(a-c)>√b-√(b-c) 上面的不知道怎麼證 繼續解 假設√(3-x)=√a √(4-y)=√b 則a+b=5 令a'=b'=2.5 則√(3-x')+√(4-y')=√10 假設有其它的a，b且a=a'-c，b=b'+c(c>0) 則√(3-x)+√(4-y)=√(2.5+c)+√(2.5-c) 由引理可知 √(2.5+c)-√(2.5)<√(2.5)-√(2.5-c) 所以√(2.5+c)+√(2.5-c)<√10 故√10為最大值 如果上面的是對的 那麼簡單來說 若x+y=a 則√(b-x)+√(c-y)的最大值為2*√(b+c-a) 前題是√b+c-a要是實數 我自己證出引理了= = 奇怪之前怎麼沒想到那麼簡單的東西 兩邊同乘(√(a+c)+√a)(√(b+c)+√b) iamjoseph331 Re: 怎麼求這題最大值？ 2012-02-26 23:20 這樣解行不行 用y=2-x 代入 求√(3-x)+√(4-y)之最大值 因為√(3-x)及√(4-y)為正數，求√(3-x)+√(4-y)之最大值 也就是求√(√(3-x)+√(2+x))^2之最大值 (√(3-x)+√(2+x))^2 =3-x + 2√(3-x)(2+x) + 4-y =5 + 2 √ 6+x-x^2 =5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4 √(√(3-x)+√(2+x))^2之最大值 =5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4之最大值 也就是x=1/2時 5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4 =5 + 2 √ 6+1/4 =5 + 2* 5/2 =10 √(3-x)+√(4-y)之最大值 =√10 不知道是不是這樣 這樣好像比較易懂... 600174 Re: 怎麼求這題最大值？ 2012-02-29 01:35
WENDYCHI Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-30 22:33 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？
hansonyu123 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 08:13 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 我只求出最小值… 用構造法好像真的只能求最小值ㄝ…
d22538366 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 12:53 引用： WENDYCHI 寫道: 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ 我算出來是 根號5小於M+N小於等於根號10 對嗎 左邊我用構造法(三角不等式) 右邊我用圓方程式
hansonyu123 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 20:10 引用： d22538366 寫道: 引用： WENDYCHI 寫道: 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ 我算出來是 根號5小於M+N小於等於根號10 對嗎 左邊我用構造法(三角不等式) 右邊我用圓方程式 所以說圓方程可以算出最大值囉？
jhan Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-01-31 21:18 引用： hansonyu123 寫道: 所以說圓方程可以算出最大值囉？ 他是指座標平面上的圖形觀點 x^2+y^2=5 為一圓 作圓的切線x+y=k k可為...... 切點(x,y)為k的最大(小)值出現的條件 某些情況這個方法也不錯
dobjjj50472ggg Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-03-12 22:56 樓上老大說 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ (M^2+N^2)(1^2+1^2)>=(M+N)^2~~~~~柯西不等式 5＊2>=(M+N)^2 10>=(M+N)^2 10^(1/2)>=M+N>=－[10^(1/2)]~~~~~抱歉我不會打根號 但是M 和 N>=0 所以最小值我沒有比較好的方法ㄟ 高手指點巴 應該沒錯吧 我常犯錯QQ
WENDYCHI Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-03-12 23:11 引用： dobjjj50472ggg 寫道: 樓上老大說 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ (M^2+N^2)(1^2+1^2)>=(M+N)^2~~~~~柯西不等式 5＊2>=(M+N)^2 10>=(M+N)^2 10^(1/2)>=M+N>=－[10^(1/2)]~~~~~抱歉我不會根號 但是M 和 N>=0 所以最小值我沒有比較好的方法ㄟ 高手指點巴 應該沒錯吧 我常犯錯QQ 2(M^2+N^2)大於等於M^2+N^2+2MN=(M+N)^2 10大於等於(M+N)^2---------------(M=N時等號) 10^(1/2)大於等於M+N A:根號十
hansonyu123 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-08-31 21:05 引用： WENDYCHI 寫道: 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ 如果說這樣寫可以嗎 前提就是這下面的命題成立，我的解法就ok了 引理：假設0<c<a<b，且 則√a-√(a-c)>√b-√(b-c) 上面的不知道怎麼證 繼續解 假設√(3-x)=√a √(4-y)=√b 則a+b=5 令a'=b'=2.5 則√(3-x')+√(4-y')=√10 假設有其它的a，b且a=a'-c，b=b'+c(c>0) 則√(3-x)+√(4-y)=√(2.5+c)+√(2.5-c) 由引理可知 √(2.5+c)-√(2.5)<√(2.5)-√(2.5-c) 所以√(2.5+c)+√(2.5-c)<√10 故√10為最大值 如果上面的是對的 那麼簡單來說 若x+y=a 則√(b-x)+√(c-y)的最大值為2*√(b+c-a) 前題是√b+c-a要是實數
hansonyu123 Re: 怎麼求這題最大值？ 2011-08-31 21:11 引用： hansonyu123 寫道: 引用： WENDYCHI 寫道: 引用： wade1537 寫道: 已知x、y皆是實數，且x+y＝2， 試求√(3-x)+√(4-y)之最大值？ 我的想法是是把y＝2-x帶入，但接下來就想不到了 令√(3-x)=M √(4-y)=N 題目變成 已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5， 試求M+N之最大值？ 如果說這樣寫可以嗎 前提就是這下面的命題成立，我的解法就ok了 引理：假設0<c<a<b，且 則√a-√(a-c)>√b-√(b-c) 上面的不知道怎麼證 繼續解 假設√(3-x)=√a √(4-y)=√b 則a+b=5 令a'=b'=2.5 則√(3-x')+√(4-y')=√10 假設有其它的a，b且a=a'-c，b=b'+c(c>0) 則√(3-x)+√(4-y)=√(2.5+c)+√(2.5-c) 由引理可知 √(2.5+c)-√(2.5)<√(2.5)-√(2.5-c) 所以√(2.5+c)+√(2.5-c)<√10 故√10為最大值 如果上面的是對的 那麼簡單來說 若x+y=a 則√(b-x)+√(c-y)的最大值為2*√(b+c-a) 前題是√b+c-a要是實數 我自己證出引理了= = 奇怪之前怎麼沒想到那麼簡單的東西 兩邊同乘(√(a+c)+√a)(√(b+c)+√b)
iamjoseph331 Re: 怎麼求這題最大值？ 2012-02-26 23:20 這樣解行不行 用y=2-x 代入 求√(3-x)+√(4-y)之最大值 因為√(3-x)及√(4-y)為正數，求√(3-x)+√(4-y)之最大值 也就是求√(√(3-x)+√(2+x))^2之最大值 (√(3-x)+√(2+x))^2 =3-x + 2√(3-x)(2+x) + 4-y =5 + 2 √ 6+x-x^2 =5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4 √(√(3-x)+√(2+x))^2之最大值 =5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4之最大值 也就是x=1/2時 5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4 =5 + 2 √ 6+1/4 =5 + 2* 5/2 =10 √(3-x)+√(4-y)之最大值 =√10 不知道是不是這樣 這樣好像比較易懂...
回應
WENDYCHI
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-01-30 22:33令√(3-x)=M
√(4-y)=N
題目變成
已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5，
試求M+N之最大值？
hansonyu123
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-01-31 08:13我只求出最小值…
用構造法好像真的只能求最小值ㄝ…
d22538366
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-01-31 12:53我算出來是
根號5小於M+N小於等於根號10
對嗎
左邊我用構造法(三角不等式)
右邊我用圓方程式
wade1537
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-01-31 12:54我已經用WENDYCHI的方法求出最大值和最小值了～
hansonyu123
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-01-31 20:10所以說圓方程可以算出最大值囉？
jhan
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-01-31 21:18他是指座標平面上的圖形觀點
x^2+y^2=5 為一圓 作圓的切線x+y=k k可為......
切點(x,y)為k的最大(小)值出現的條件
某些情況這個方法也不錯
d22538366
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-01-31 21:21第一次用.........
jhan
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-01-31 22:58哦 那不是很好嗎XD
dobjjj50472ggg
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-03-12 22:56令√(3-x)=M
√(4-y)=N
題目變成
已知M、N皆是實數，且M^2+N^2＝5，
試求M+N之最大值？
(M^2+N^2)(1^2+1^2)>=(M+N)^2~~~~~柯西不等式
5＊2>=(M+N)^2
10>=(M+N)^2
10^(1/2)>=M+N>=－[10^(1/2)]~~~~~抱歉我不會打根號
但是M 和 N>=0
所以最小值我沒有比較好的方法ㄟ
高手指點巴
應該沒錯吧
我常犯錯QQ
WENDYCHI
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-03-12 23:112(M^2+N^2)大於等於M^2+N^2+2MN=(M+N)^2
10大於等於(M+N)^2---------------(M=N時等號)
10^(1/2)大於等於M+N
A:根號十
hansonyu123
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-08-31 21:05如果說這樣寫可以嗎
前提就是這下面的命題成立，我的解法就ok了
引理：假設0<c<a<b，且
則√a-√(a-c)>√b-√(b-c)
上面的不知道怎麼證
繼續解
假設√(3-x)=√a
√(4-y)=√b
則a+b=5
令a'=b'=2.5
則√(3-x')+√(4-y')=√10
假設有其它的a，b且a=a'-c，b=b'+c(c>0)
則√(3-x)+√(4-y)=√(2.5+c)+√(2.5-c)
由引理可知
√(2.5+c)-√(2.5)<√(2.5)-√(2.5-c)
所以√(2.5+c)+√(2.5-c)<√10
故√10為最大值
如果上面的是對的
那麼簡單來說
若x+y=a
則√(b-x)+√(c-y)的最大值為2*√(b+c-a)
前題是√b+c-a要是實數
hansonyu123
Re: 怎麼求這題最大值？
2011-08-31 21:11我自己證出引理了= =
奇怪之前怎麼沒想到那麼簡單的東西
兩邊同乘(√(a+c)+√a)(√(b+c)+√b)
iamjoseph331
Re: 怎麼求這題最大值？
2012-02-26 23:20用y=2-x 代入
求√(3-x)+√(4-y)之最大值
因為√(3-x)及√(4-y)為正數，求√(3-x)+√(4-y)之最大值
也就是求√(√(3-x)+√(2+x))^2之最大值
(√(3-x)+√(2+x))^2
=3-x + 2√(3-x)(2+x) + 4-y
=5 + 2 √ 6+x-x^2
=5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4
√(√(3-x)+√(2+x))^2之最大值
=5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4之最大值
也就是x=1/2時
5 + 2 √ 6-(x-1/2)^2+1/4
=5 + 2 √ 6+1/4
=5 + 2* 5/2
=10
√(3-x)+√(4-y)之最大值
=√10
不知道是不是這樣
這樣好像比較易懂...
600174
Re: 怎麼求這題最大值？
2012-02-29 01:35