特別的機率問題

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

WENDYCHI 寫道:
跟酒鬼撞牆題目一樣啊

你的答案應該是對的

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)

哪種題目??
而且我們老師還說這種題目不能解
他要給我10杯飲料了XD!!

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)

可不可以假設他們有無限多塊錢
(嘿嘿~好多錢錢哦)

無限1號/(無限1號+無限2號)=??
無限2號/(無限1號+無限2號)=??
這怎麼算啊??

更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
.........................................
更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??

甲輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}
乙輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
不知道有沒有算錯......
to WENDYCHI:
到底"酒鬼撞牆"題目是啥??都不理我......

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
.........................................
更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??

甲輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}
乙輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
不知道有沒有算錯......
to WENDYCHI:
到底"酒鬼撞牆"題目是啥??都不理我......

請問一下
你是不是先算出乙的機率再算出甲的機率啊？？？
還是說不管先算誰答案都會是一樣的？？？






(因為我不會算)

啊!!我算錯了,答案反過來
我先算乙再算甲,不過其實不管先算誰答案都會是一樣的
設甲有m+n-x元,乙有x元時,乙輸的機率為f(x)
可列式:f(x)=(2/3)f(x-1) + (1/3)f(x+1)
整理得:f(x+1)-f(x)=2[f(x)-f(x-1)]
設f(1)-f(0)=d,則f(2)-f(1)=2d,f(3)-f(2)=(2^2)d,f(4)-f(3)=(2^3)d,...,f(x)-f(x-1)=[2^(x-1)]d
加起來:f(x)-f(0)=d+2d+(2^2)d+(2^3)d+...+[2^(x-1)]d
由等比級數得f(x)-f(0)=[(2^x)-1]d
故f(n)-f(0)=[(2^n)-1]d,f(m+n)-f(0)={[2^(m+n)]-1}d
又易知f(0)=1,f(m+n)=0,所以代入上式
可解得f(n)=1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]},而f(n)即為所求
乙的機率有了,甲的機率就知道了

結論:
甲輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
乙輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

hansonyu123 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
.........................................
更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??

甲輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}
乙輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
不知道有沒有算錯......
to WENDYCHI:
到底"酒鬼撞牆"題目是啥??都不理我......

請問一下
你是不是先算出乙的機率再算出甲的機率啊？？？
還是說不管先算誰答案都會是一樣的？？？






(因為我不會算)

啊!!我算錯了,答案反過來
我先算乙再算甲,不過其實不管先算誰答案都會是一樣的
設甲有m+n-x元,乙有x元時,乙輸的機率為f(x)
可列式:f(x)=(2/3)f(x-1) + (1/3)f(x+1)
整理得:f(x+1)-f(x)=2[f(x)-f(x-1)]
設f(1)-f(0)=d,則f(2)-f(1)=2d,f(3)-f(2)=(2^2)d,f(4)-f(3)=(2^3)d,...,f(x)-f(x-1)=[2^(x-1)]d
加起來:f(x)-f(0)=d+2d+(2^2)d+(2^3)d+...+[2^(x-1)]d
由等比級數得f(x)-f(0)=[(2^x)-1]d
故f(n)-f(0)=[(2^n)-1]d,f(m+n)-f(0)={[2^(m+n)]-1}d
又易知f(0)=1,f(m+n)=0,所以代入上式
可解得f(n)=1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]},而f(n)即為所求
乙的機率有了,甲的機率就知道了

結論:
甲輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
乙輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}

引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
特別的機率問題(2)已說過桌球的規則
從這個問題可以知道桌球比賽到10:10(deuce)之後
比較容易把強的一方找出來
因為強的一方本來拿分的機率如果是x
10:10之後獲勝的機率就會被加強到1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
證明:
10:10之後獲勝的機率為1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
用前面的方法可證明
比較一下,設y=(1-x)/x,則x=1/(y+1)
x與1/{[(1-x)/x]^2 + 1}比大小
即1/(y+1)與1/(y^2 + 1)比大小
即y^2+1與y+1比大小
即y^2與y比大小
即y與1比大小
強的一方因為拿分機率較高
故x>1-x,從而y=(1-x)/x<1
x<1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
所以是被"加強"

弱者更難贏過強者,是個公平的好規則