自己出給自己的

有一角ABC
半圓P,Q,R的直徑分別在BC,AB,BC上
半圓P,Q,R分別與AB,BC,AB相切
半圓P與半圓Q外切,半圓Q與半圓R外切
半圓P不全等於半圓R
假設半圓P,Q,R的半徑分別為x,y,z
求證:y^2=xz

我只能用全圖去掉半圓R的圖形
憑感覺相似於全圖去掉半圓P的圖形
而得x:y=y:z,y^2=xz

但此法不嚴謹
除暴力法證明外
各位有無漂亮的嚴謹證明??
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回應

zaq1bgt5cde3mju7

2011-06-28 11:52
目前我最漂亮的嚴謹證明也很煩(還是暴力法= =......)
如下:

設P在BR上,半圓P,Q,R分別與AB,BC,AB相切於D,E,F三點
且cot(角ABC)=m,csc(角ABC)=n
連DP,EQ,FR,PQ,QR
可知DP,EQ,FR分別與AB,BC,AB垂直
PQ=x+y,QR=y+z
DQ=BQ-BD=ny-mx,QF=BF-BQ=mz-ny
觀察QDP,QFR兩個直角三角形的商高定理
可知(ny-mx)^2+x^2=(x+y)^2,(mz-ny)^2+z^2=(y+z)^2
把m,n,y當常數看
則x,z為t的二次方程(mt-ny)^2+t^2=(t+y)^2之兩根
由根離係數得兩根之積xz=(n^2-1)(y^2)/(m^2)
又cot(角ABC)=m,csc(角ABC)=n,故n^2-m^2=1,n^2-1=m^2
xz=(n^2-1)(y^2)/(m^2)=y^2
y^2=xz
證畢

simon89889

2011-07-04 14:54
我覺得這個很直觀耶...
用看的就知道三個圓的半徑等比了阿

因為你把最小的圓拿掉的圖說穿了不就和把最大的圓拿掉的圖是一樣的嗎= =