就是呢
有一題題目是這樣的
把20分成若干個正整數，求這些正整數乘積的最大值

他的解答是這樣
「可以知道要分成2和3，而且3越多越好」
所以是2*3*3*3*3*3*3
但是為什麼是3呢？
我爸說
可能是對於任一個正整數n
3^n>n^3
然後不知道為什麼我爸要用對數
n(log3)>3(logn)
(log3)/3>(logn)/n
難到是說(logn)/n中n=3是最大值嗎？
我又不太清楚log是什麼，只知道log10=1，log100=2等等
學習討論區

回應

yuan2013

2011-08-07 20:34
我有個大概的想法,
但或許有難度,
而且自己也不是很懂,
如果覺得看不懂還是很怪的話,
那就忽視我吧

(i)看到題目,我先想到到底要用幾個數字,把它乘起來呢?

所以想到用高中的1招:(算術平均)大於或等於(幾何平均)
輔助說明:算術平均就像是在算月考平均一樣 例如:(100+80+90+80+90)/5=88
幾何平均比較難 會用到更號 例如:
2,2這兩個數字----更號(2*2)=2 [也就是開2次更號]
4,4,4,9,9,9這6個數---開6次更號(4*4*4*9*9*9)=開6次更號(2的6次方*3的6次方)=6

(X個數字和)/X 會大於或等於 (X個數字積)開X次更號
因為X次更號很醜,所以2邊都X次------得出來的式子
X代1.2.3.4.5.6.7.8......看看 代1~8(剩下懶的代,所以就假設是7) X=7最大 所以有7個數字要相乘
[(7個數字和/7)的7次方 大於或等於等於 7個數字積]
輔助說明:(2*2)開2次更號等於2 2再2次方=2*2
6次方也一樣,只要正整數都行

(ii)知道了6個數字相乘,
如果每個數都差不多一樣大,應該乘積會最大(我的猜測,你可以試試 )

所以20/7快接近3了 所以3*3*3*3*3*3*2(最後1個是2,因為數字和要20)

yuan2013

2011-08-07 21:36
我想到1個算比較正常的方法,
也大概能符合國小數學

(i)不知是否聽過,周長相等之長方形,若恰為正方形,則面積最大
也就是說A+B=N AB最大值出現在A=B的時候 就是說
(N/2)的2次方

(ii)所以我推測,數字和為20,若每個數字都差不多大,乘積應當也會最大

(iii)設有X個數字,(20/X)的X次方求最大 X在1~8當中
X=7時最大,就當作是7了
20/7大約是3
3*3*3*3*3*3*3 當然事情沒那麼簡單 略做調整
答案: 2*3*3*3*3*3*3

yee3816547290

2011-08-07 22:20
為什麼小學生要做這種題目？
至少要知道算幾不等式才有可能討論這個題目。

zaq1bgt5cde3mju7

2011-08-08 18:49
(1)顯然不要分出1
意義:不要分出1
(2)若n>=4,則n可分為兩個>=2之數的和
(3)若a,b>=2,則(a-1)(b-1)>=1,ab>a+b
意義:不要分出大於等於4的數
(4)3x3>2x2x2
意義:要分成2和3,而且3越多越好
綜上所述,可知所求為3x3x3x3x3x3x2=1458

這樣雖然不用算幾,但是好像還是超過小學範圍了
= =......

hansonyu123

2011-08-09 11:50
引用：

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
(1)顯然不要分出1
意義:不要分出1
(2)若n>=4,則n可分為兩個>=2之數的和
(3)若a,b>=2,則(a-1)(b-1)>=1,ab>a+b
意義:不要分出大於等於4的數
(4)3x3>2x2x2
意義:要分成2和3,而且3越多越好
綜上所述,可知所求為3x3x3x3x3x3x2=1458

這樣雖然不用算幾,但是好像還是超過小學範圍了
= =......

了解了，謝謝！
看來我爸想太多了= =