建國中學通訊解題

引用：

a20003 寫道:
黑板上有若干個 號及 號排成一列，每次擦掉一個 號，並把相鄰兩個的符號變號(至多改變兩個，若無相鄰者，則不變；擦掉後仍保留空格，所謂相鄰者是中間無任何空格者)，試問一開始時，在什麼情況下，可以把全部的符號都擦掉？
例如： 򞔡＋＋─ ─＋－ → ＋＋－＋●＋ → ＋＋＋●●＋ → ●－＋●●＋ → ●－＋●●● → ●＋●●●● → ●●●●●●（完成）
＋＋─ ─ → ●──── ＆－●＋－（無法完成）

黑板上有若干個 號及 號排成一列，每次擦掉一個 號
到底是什麼號啊？
是＋.-.＋嗎

引用：

a20003 寫道:
黑板上有若干個+號及-號排成一列，每次擦掉一個+號，並把相鄰兩個的符號變號(至多改變兩個，若無相鄰者，則不變；擦掉後仍保留空格，所謂相鄰者是中間無任何空格者)，試問一開始時，在什麼情況下，可以把全部的符號都擦掉？

目前猜想奇數個+都可以，偶數個都不行，可能用數歸會比較好。

有了！
在證明之前，先說明一件事
當有一個不在兩端的+號被消除後，剩下由空格隔開的兩部分無法互相干擾，所以可視為需消除所有+號的兩組情況
當"只有一個+號"時：(不解釋)
當"只有三個+號"時：- - - - - + - - - + - - - + - - - - -
先從最左邊的+開始消去↓
- - - - + 0 + - - + - - - + - - - - -
空格左邊為只有一個+的情況，所以一定都可以刪掉
而右半邊繼續刪最左邊的那個，直到中間的+變成-↓
0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - - - + - - - - -
剩下的部分為只有一個+的情況，所以一定可以都刪掉
故只有三個+時成立
如果"只有2n-1個+號時"成立，那麼當"只有2n+1個+號"時(n>1)：- - - + - - -... - - - + - - -
將左邊數來第三個+刪掉後，左邊會是只有3個+的部分，右邊會是只有(2n+1)-3+1=(2n-1)個+號的部分
而因為這兩種情況皆可成立，故當只有2n+1個+時也可以成立
統計以上結果，由數學歸納法可知只要裡面有奇數個+都可成立
偶數的...再想想

為了解釋方便，再說明一個東西：
若從此列的一端開始有數個連續的-號，且再接上一個+號，則這些-號可直接忽略：+ + + - - - -
因為若需要達成目的，所有的+號-號都需刪掉，不管前面步驟為何，到最後一定會有一步是需刪除在這個位置的+號↓
+ - 0 + - - -
這時候原本最左邊的-號變成+號，右半邊為只有一個+號的情況，故全部都可以刪除
但不管加了再多的減號，都並不會影響結果，能成立就能成立，不能就不能，所以可直接忽略旁邊的減號
偶數：
當只有兩個+時：+ - - - +
不失一般性，就以選左邊的+號來說明
選了左邊的+號後，會形成這樣的情況↓
0 + - - +
剩下的部分仍然是只有兩個+的情況，故可直接跳到兩個+相連的情況↓
0 0 0 + +
這時不管選哪個+號，另外一個+號就會變成-號，但已沒有任何其他的+號，所以此減號消不掉，可得當只有兩個+號時不成立
若已知"只有2,4,6...2n個+號"都不成立，那麼當"只有2n+2個+號"時(n>0)：+ - - + - -...... - - +
若從中選取任何一個+號，則從左至右會形成的情況如下↓
(2n+2),(2&2n+1),(3&2n),(4&2n-1)...(2n&3),(2n+1&2),(2n+2)
其中除了兩端的情況外，剩餘的都是一奇一偶，故中間的所有情況都不合
而兩端的情況一直延續下去後會如下↓
+ + - - +......+ - + +(2n+2個+)
這時如果不取兩端的+號的話，也會形成如上的情況
但若取掉兩端的+號之中的其中一個，會將旁邊的+號也同時變成-號，剩下來的+號就只有2n個
但我們已經知道"只有2n個+號"是不成立的，故"只有2n+2個+號"的情況也是不成立的
統整以上結果(包含前面的)，可得：
若這之中有奇數個+號，則可以將所有的符號都去掉；若這之中有偶數個+號，則否。
證畢

引用：

justpoppingin 寫道:
為了解釋方便，再說明一個東西：
若從此列的一端開始有數個連續的-號，且再接上一個+號，則這些-號可直接忽略：+ + + - - - -
因為若需要達成目的，所有的+號-號都需刪掉，不管前面步驟為何，到最後一定會有一步是需刪除在這個位置的+號↓
+ - 0 + - - -
這時候原本最左邊的-號變成+號，右半邊為只有一個+號的情況，故全部都可以刪除
但不管加了再多的減號，都並不會影響結果，能成立就能成立，不能就不能，所以可直接忽略旁邊的減號
偶數：
當只有兩個+時：+ - - - +
不失一般性，就以選左邊的+號來說明
選了左邊的+號後，會形成這樣的情況↓
0 + - - +
剩下的部分仍然是只有兩個+的情況，故可直接跳到兩個+相連的情況↓
0 0 0 + +
這時不管選哪個+號，另外一個+號就會變成-號，但已沒有任何其他的+號，所以此減號消不掉，可得當只有兩個+號時不成立
若已知"只有2,4,6...2n個+號"都不成立，那麼當"只有2n+2個+號"時(n>0)：+ - - + - -...... - - +
若從中選取任何一個+號，則從左至右會形成的情況如下↓
(2n+2),(2&2n+1),(3&2n),(4&2n-1)...(2n&3),(2n+1&2),(2n+2)
其中除了兩端的情況外，剩餘的都是一奇一偶，故中間的所有情況都不合
而兩端的情況一直延續下去後會如下↓
+ + - - +......+ - + +(2n+2個+)
這時如果不取兩端的+號的話，也會形成如上的情況
但若取掉兩端的+號之中的其中一個，會將旁邊的+號也同時變成-號，剩下來的+號就只有2n個
但我們已經知道"只有2n個+號"是不成立的，故"只有2n+2個+號"的情況也是不成立的
統整以上結果(包含前面的)，可得：
若這之中有奇數個+號，則可以將所有的符號都去掉；若這之中有偶數個+號，則否。
證畢

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