已知一多面體有九個頂點，則此多面體的內角總和是多少?

先問「內角總和」的定義
是平面角還是立體角?
而且就算是平面角我還需要其它條件="=

這題應該問的是此多面體各面的角度和。

我是用尤拉公式(應該沒記錯吧，圖論的公式)。

所以

　　多邊形邊數（Ｅ）＋２＝頂點數（Ｎ）＋平面數（Ｆ）

我們知道多邊形內角和為
　　
　　（Ｅ－２）＊１８０　＝　１８０Ｅ－２＊１８０

如果一個多邊形的邊數有Ｅ，則其表平面的邊數總和為２Ｅ。

很明顯的，這２Ｅ個邊每組成一個多邊形（多邊形的面），各個角度的總和就得減去２＊１８０

如果有Ｆ個面，那就得減去２Ｆ＊１８０

由尤拉公式可知，Ｅ－Ｆ＝９－２
（Ｎ由題意可知為９）

所以角度和為２（Ｅ－Ｆ）＊１８０＝２＊７＊１８０＝２５２０

請將角度換算成弧度…

其實tsai7339是知道我的答案是對的，他的問題是為什麼原來的解法會是那樣寫。

對於tsai7339提供的算式，我猜不出來背後所使用的思考方式。

我的感覺是上面的解法似乎是特殊解，並不能拿來證明任意的凸多面體的角度總和。

我曾想過，如果已知此角度總和固定的話，用八角錐會是蠻快的方法，不過並不能證明任意九個頂點的總和值為恒定。

會聯想到尤拉公式的緣故就是它不用考慮多面體的樣子。

我突然想到可能的解釋了。

這解法可能是－－先看正立方體(八個頂點)，然後其中一個面多拉出一個點，於是有九個點。

這立體圖共有四個三角形與五個正方形(請自行想像)，所以會列出tsai7339的式子。

如果我猜的對，那這真的不算是很好的解法。大概只有國小程度我會贊同用這種方法。

理由一上篇提過，這不是通解，而是特殊解。

裡由二也是上篇我所提的。用錐體明顯會比較容易計算。

例如這次要是問100個頂點的立體圖的各面角度和，用一個一個點拉根本太慢，直接看99角錐就能運算。

99*180+(99-2)*180就可以解決。