換門期望值問題

大家好，這是小弟第一次在這裡發文，
請諸君指教。

題目是這樣的：

一場獎金遊戲中，有A、B兩扇門供參賽者選擇。
主持人表示，兩扇門後皆有獎金，
但其中一扇門的獎金是另一扇的兩倍。
但是主持人並未公布兩扇門相加的總獎額是多少。

接著，參賽者選擇了A門，打開後獎金是100元。

主持人給予了參賽者一次換門機會，
參賽者開始計算兩扇門的獎金期望值：

A門毫無疑問的是100元獎金。
B門獎金有兩種可能，即50元或200元，且機率各半
(取決於A門是大獎或小獎)
由此知B門獎金期望值是125元，果斷換門。

但是，這個結論應該是錯誤的。

試改變題目情境如下：

參賽者賣弄數學，
選門前就預先拿出紙筆作計算。
假設A門獎金是a元，B門是b元。
選擇A門就可以拿到a元，而b=0.5a或是2a，
所以b的期望值是1.25a，大於a，應該選B門，
但選了B門後，
再去估計A門的獎金又會發現a的期望值是1.25b，
這就造成了循環下去的矛盾，
當然，在沒有任何資訊的情況下選門，
絕對是公平的，
兩扇門理應有相同的期望值，
那麼上述推論的錯誤又在哪裡？

正確的計算應該是這樣的：
獎金總額是3x元的話，
只有兩種情況，a=2x，b=x或是a=x，b=2x。
所以a和b的期望值都是(2/3)x，
換不換門都是無所謂的。

雖然我覺得我已經找到正確的算法，
但我還是不會解釋錯誤算法的錯誤點在哪裡…

試著誇張化題目：
兩扇門的獎金倍數差變成1億倍，
你開了A門發現是1元，
那難道不意味著B門可能是1億元或是0元？
(一億分之一太小，當作0元來看)
並且1億元和0元機率難道不是各半嗎？
這種情況下真的不需要換門？
換了門頂多損失1元，但卻可能得到1億！

希望有高手提供解釋，能針對謬論的錯誤點攻擊。