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國中

回應

訪客 (未驗證)

2004-01-20 14:45
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/a\ b \
/ \ \
/ \ c \
\ s / /
\ / /
\z/ d /
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假設這是一個「正」六邊形
那就圖上所示，我們把他拉成了一個凹的六邊形
而本來是a+b=120度的角變成了b而已
本來是z+d=120度的角變成了d而已
但是原本是s〈120度〉的角增大為c，也等於增加了c-s
要如何證明a+z=c-s？
假設現在是拉成一個五邊形〈並非真的五邊形，因為我們認為c角依然存在，所以只能成為一個證明用的假想圖〉就是把a角到z角拉成一條直線，就會發現本來120度的a+b和z+d都變成90度的直角，所以b和d就成為90度了，減少的a和z就都是30度，而本來s角也是120度，現在變成了c角，而是180度〈一條直線〉，增加了60度，也就是c-s=60
所以z+a=c-s是沒錯的，凸n邊形和凹n邊形的內角和就一樣，我只是個國小5年級的學生，我覺得我似乎只是證明了正多邊形的時候所形成的情況，但我認為這條線不管拉到哪個程度，這個道理都應該是適用的
有錯誤的話請高手指正，謝謝
























Lizhong

2004-01-21 00:30
三點可連成一個三角形
在同一個平面上，所有的n邊形(包含凹n邊形與凸n邊形)，必有n個頂點，
∵在n邊形的內部，必可連成(n-2)個三角形
(要如何證明這句話？找例子用畫的不是辦法，不具有一般性)
凹n邊形的內角合=(n-2)×180
凸n邊形的內角合=(n-2)×180
∴ 凹n邊形內角和等於凸n邊形內角和

Lizhong

2004-01-25 16:54
在同一平面上，考慮一個n邊形，
可分割為2個凸多邊形，P凸多邊形，Q凸多邊形
總邊數增加2個，即 P+Q = n+2
其中，
P凸多邊形可分割為(P-2)個△--------(1)
Q凸多邊形可分割為(Q-2)個△-------(2)
(1)＋(2)可得
(P凸多邊形＋Q凸多邊形)共可分割為﹝(P-2)＋(Q-2)﹞個△
即，(P＋Q-4)個△
又，已知 P+Q = n+2，代入上式可得
P＋Q-4=( n+2)-4=n-2
故，n多邊形之內角和= P凸多邊形之內角和＋Q凸多邊形之內角和
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以此方法，在同一平面上
將任意n多邊形分割為(P1，P2，P3，…，Pm)共m個凸多邊形，Pi為凸多邊形的邊數。
總邊數增加2m-2個，即P1＋P2＋P3＋…＋Pm= n+2m-2
其中，
P1凸多邊形可分割為(P1)-2 個△---------(1)
P2凸多邊形可分割為(P2)-2 個△---------(2)
P3凸多邊形可分割為(P3)-2 個△---------(3)
：
Pm凸多邊形可分割為(Pm)-2 個△--------(m)
把上面m個式子加在一起，可得
m個凸多邊形一共可以分割成(P1＋P2＋P3＋…＋Pm)-2m 個△
已知 P1＋P2＋P3＋…＋Pm= n+2m-2
代入上式可得
m個凸多邊形一共可以分割成 n+2m-2-2m 個△= n-2個△
一個△的內角和=180°
故，在同一平面上，任意n多邊形的內角和必為(n-2)x180°
然此多邊形包括n凸多邊形與n凹多邊形
故，n凸多邊形的內角和=n凹多邊形的內角和，得證。
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目前這個證法，適合國中程度，應該有其他更好的證法。
這是個有趣的題目。

訪客 (未驗證)

2004-02-07 15:49
仔細觀察凹n邊形可以發現
凹四邊形：凸三邊形一邊內凹
凹五邊形：凸三邊形二邊內凹;凸四邊形一邊內凹
凹六邊形：凸三邊形三邊內凹;凸四邊形二邊內凹;凸五邊形一邊內凹
凹七邊形：凸四邊形三邊內凹;凸五邊形二邊內凹;凸六邊形一邊內凹
凹八邊形：凸四邊形四邊內凹;凸五邊形三邊內凹;凸六邊形二邊內凹;凸七邊形一邊內凹
依此類推......
可得凹n邊形：凸a邊形b邊內凹(其中a+b=n)
所以凹n邊形內角和=(a-2)*180+(360-180)*b=(a-2)*180+180b=(a+b-2)*180=(n-2)*180
結果與凸n邊形相同

訪客 (未驗證)

2004-02-08 23:09
引用：

寫道:
(a-2)*180+(360-180)*b
為什麼？


a=內角小於180的個數
b=內角大於180的個數
請將凹(a+b)邊形各頂點連接使其變成凸a邊形
即可發現凹(a+b)邊形=(a-2)*180+(360-180)*b