今天我參加環球城市盃國中組考試，題目第五題我推算的答案是899999999，可是我不知道怎麼證明。請問這樣的題目要如何證明？
國中

回應

訪客 (未驗證)

2004-02-23 00:38
第5題
兩個十位數如果恰好只有某一位數的數字不同，則稱這兩數為” 鄰居數”。例如：1234567890，1234507890就是兩個”鄰居數”。請問最多可寫下多少個十位數，使得這些數中的任兩個數都互不為”鄰居數”？ 　


我認為數學之所以迷人,在於你總是能找到漂亮的解法~~~J+W

訪客 (未驗證)

2004-02-23 00:51
"數學之所以迷人，在於每解決一個問題又發現另一個新的問題。"
By 孫文先先生

我想我開始懂孫先生的話了 J+W

訪客 (未驗證)

2004-02-23 09:21
我必須很殘酷地說您的答案不正確，有些疏漏。
雖然您非常認真地作答，精神可嘉，但真理就是真理，沒有同情分數的。
孫文先敬上

訪客 (未驗證)

2004-02-23 10:52

從錯誤中學習是人類最常使用的學習方式,也是一個很好的方法,多謝您的指正

訪客 (未驗證)

2004-02-23 12:32
2.設n為正整數，如果存在有n個連續整數之和為質數，試求n的所
有的可能值。


分數不重要 重要的是享受數學

訪客 (未驗證)

2004-02-23 12:35
3.（a）有三個完全相同的容器，第一個容器盛有3公升的純糖漿；
第二個容器內盛有20公升的水；而第三個容器則是空的。可以任意
選擇以下的操作：
（1）將某容器中的溶液全部倒入另一個容器中；
（2）將某容器中的溶液全部倒掉
（3）任選兩個容器將第三個容器的溶液蹈入其中一個容器中，使
得所選這兩個容器內的溶液一面一樣高。

請問如何操作才能得到10公升濃度為30﹪的糖漿溶液。

訪客 (未驗證)

2004-02-23 15:19
4.設a為大於1的正整數，他是一個n位數，在這個數後面在重寫一遍得到一個2n位數b。
若b是a^2的倍數，試求b/a^2的所有可能值。（給出所有的可能值並給出例子，同時證
明沒有其他值）
關鍵在a2
要使b=a2*k符合題意
那a2必須=1,11,101,1001,10001,...........
但a是正整數 所以 a=1 (這唯一解的證明Raceleader好像做過,我不太會)
所以 b=11 k=b/a2=11
也是唯一的解

證明就麻煩Raceleader

訪客 (未驗證)

2004-02-23 18:03
4.設a為大於1的正整數，他是一個n位數，在這個數後面在重寫一遍得到一個2n位數b。
若b是a^2的倍數，試求b/a^2的所有可能值。（給出所有的可能值並給出例子，同時證
明沒有其他值）

由題目可得b=ax(10^n+1)，所以b/a^2就等於 ax(10^n+1)/a^2分子分母同除得10^n+1/a，又因為a為n位數，a又大於1，所以10^n+1/a一定為個位數，又因為10^n+1不可能有2,3,4,5,6,8,9這幾個因數，所以10^n+1/a只可能是７也就是說b/a^2只可能是７(這樣應該沒錯吧)

訪客 (未驗證)

2004-02-23 18:19
我認為第５題這樣算還是錯，因為任意兩組都會有重複的數字，用３位數舉例說明即可，123的鄰居數　　129也和229同為鄰居數，所以不能把鄰居數分組，至於我當時算出的解答是900000000，至於做法太長了我沒控在這裡打下(我想我的答案和做法是不會錯的)

yl871809

2004-02-23 18:58
我覺得第二題的人你的解法應該不對,我覺得你搞錯題目的意思了,8公升的水不能直接跳到4公升,他第三個方法的意思應該是這樣,假如你選C,那你可以把水倒入A,讓A和B的水位一樣高,或是把水倒入B,讓A和B的水位一樣高,而不是將水平分成一樣多的兩份
引用：

寫道:
3.（a）有三個完全相同的容器，第一個容器盛有3公升的純糖漿；
第二個容器內盛有20公升的水；而第三個容器則是空的。可以任意
選擇以下的操作：
（1）將某容器中的溶液全部倒入另一個容器中；
（2）將某容器中的溶液全部倒掉
（3）任選兩個容器將第三個容器的溶液蹈入其中一個容器中，使
得所選這兩個容器內的溶液一面一樣高。

請問如何操作才能得到10公升濃度為30﹪的糖漿溶液。

galois5

2004-02-23 20:17
3,8,0
3,5,3
3+2,5,1
3+7,0,1
希望大家看的懂，7,8,7+3K,8+3K,...都可以
1,2,3,4,5,6,(水不夠)
9,9+3K...都不行(怎樣倒都還是3的倍數)

PeterJiang

2004-02-23 22:56
回應2004-02-23 18:19:11
第5題我的想法：
如果把十位數改成二位數，就只有9個數，如：
10、21、32、43、54、65、76、87、98
第5題如果把十位數改成三位數，就有89個數，如：
100、111、122、133、144、155、166、177、188、199
201、212、223、234、245、256、267、278、289、290
302、313、324、335、346、357、368、379、380、391
403、414、425、436、447、458、469、470、481、492
504、515、526、537、548、559、560、571、582、593
605、616、627、638、649、650、661、672、683、694
706、717、728、739、740、751、762、773、784、795
807、818、829、830、841、852、863、874、885、896
908、919、920、931、942、953、964、975、986、997
以此類推四位數就有899個數，五位數就有8999個數。所以照這樣做下去一直到十位數，會有899999999個非鄰居數。
我的想法僅和你相差1個數，可以寫出你的做法嗎？

galois5

2004-02-23 23:13
引用：

PeterJiang 寫道:
回應2004-02-23 18:19:11
第5題我的想法：
如果把十位數改成二位數，就只有9個數，如：
10、21、32、43、54、65、76、87、98
第5題如果把十位數改成三位數，就有89個數，如：
100、111、122、133、144、155、166、177、188、199
201、212、223、234、245、256、267、278、289、290
302、313、324、335、346、357、368、379、380、391
403、414、425、436、447、458、469、470、481、492
504、515、526、537、548、559、560、571、582、593
605、616、627、638、649、650、661、672、683、694
706、717、728、739、740、751、762、773、784、795
807、818、829、830、841、852、863、874、885、896
908、919、920、931、942、953、964、975、986、997
以此類推四位數就有899個數，五位數就有8999個數。所以照這樣做下去一直到十位數，會有899999999個非鄰居數。
我的想法僅和你相差1個數，可以寫出你的做法嗎？

你的三位數有90個... ;-)

訪客 (未驗證)

2004-02-24 01:07
我的解法少了點
只是萬萬沒想到鄰居數居然和足球有關
看的懂得人應該了解我的意思
只是 這題目的難度也未免太高了吧
J+W

孫文先

2004-02-24 17:12
正確。
孫文先敬上
引用：

galois5 寫道:
3,8,0
3,5,3
3+2,5,1
3+7,0,1
希望大家看的懂，7,8,7+3K,8+3K,...都可以
1,2,3,4,5,6,(水不夠)
9,9+3K...都不行(怎樣倒都還是3的倍數)

孫文先

2004-02-24 17:14
說明稍加詳細應可得滿分。
孫文先 敬上
引用：

寫道:
4.設a為大於1的正整數，他是一個n位數，在這個數後面在重寫一遍得到一個2n位數b。
若b是a^2的倍數，試求b/a^2的所有可能值。（給出所有的可能值並給出例子，同時證
明沒有其他值）

由題目可得b=ax(10^n+1)，所以b/a^2就等於 ax(10^n+1)/a^2分子分母同除得10^n+1/a，又因為a為n位數，a又大於1，所以10^n+1/a一定為個位數，又因為10^n+1不可能有2,3,4,5,6,8,9這幾個因數，所以10^n+1/a只可能是７也就是說b/a^2只可能是７(這樣應該沒錯吧)

孫文先

2004-02-24 17:16
n=1為什麼不合？
孫文先 敬上
引用：

寫道:
2.設n為正整數，如果存在有n個連續整數之和為質數，試求n的所
有的可能值。


分數不重要 重要的是享受數學

訪客 (未驗證)

2004-02-24 18:45
請問孫老師:

高中組有一題幾何:
1.在△ABC中已知∠A的角平分線、AB邊上的中垂線及AC邊上的高這
三條線共點。試證：∠A的角平分線、AB邊上的中垂線及AB邊上的
高這三條線也共點。

我證明如下:


"http://home.pchome.com.tw/mysite/victor19871226/G.jpg"

因為OA=OC,AB=BC
所以 AC 垂直 BO

同理 BD 垂直 OC
由垂心定理知三角形三高交於一點
所以 OE 會通過 F



鳶形對角線垂直和垂心三線交於一點我沒證明
是否會被扣分?

st85145

2004-02-24 19:08
既然想知到，就告訴你我的做法吧
剛開始跟你差不多，也是把十位數改成二位數，不過把0開頭的也算進去，剛剛好有10組互不為鄰居數，一組10個，如下：
00、11、22、33、44、55、66、77、88、99

01、12、23、34、45、56、67、78、89、90

02、13、24、35、46、57、68、79、80、91

03、14、25、36、47、58、69、70、81、92

04、15、26、37、48、59、60、71、82、93

05、16、27、38、49、50、61、72、83、94

06、17、28、39、40、51、62、73、84、95

07、18、29、30、41、52、63、74、85、96

08、19、20、31、42、53、64、75、86、97

09、10、21、32、43、54、65、76、87、98
然後在分別在每組前加0、1、2至9，1、2、3至0，2、3、4至1，這樣下去，又剛剛好能把所有三位數分成十組，再用同樣的方法分下去，推得所有十位數也能被分成十組，所以一組有１０００００００００，扣除０開頭的，剩９００００００００個
(再請孫文先先生評一下)
引用：

PeterJiang 寫道:
回應2004-02-23 18:19:11
第5題我的想法：
如果把十位數改成二位數，就只有9個數，如：
10、21、32、43、54、65、76、87、98
第5題如果把十位數改成三位數，就有89個數，如：
100、111、122、133、144、155、166、177、188、199
201、212、223、234、245、256、267、278、289、290
302、313、324、335、346、357、368、379、380、391
403、414、425、436、447、458、469、470、481、492
504、515、526、537、548、559、560、571、582、593
605、616、627、638、649、650、661、672、683、694
706、717、728、739、740、751、762、773、784、795
807、818、829、830、841、852、863、874、885、896
908、919、920、931、942、953、964、975、986、997
以此類推四位數就有899個數，五位數就有8999個數。所以照這樣做下去一直到十位數，會有899999999個非鄰居數。
我的想法僅和你相差1個數，可以寫出你的做法嗎？
:-P :-P

孫文先

2004-02-24 20:00
您必須證明您所找出的數中任兩個數都不是鄰居數，並且要證明不能再多找。
孫文先敬上
引用：

st85145 寫道:
既然想知到，就告訴你我的做法吧
剛開始跟你差不多，也是把十位數改成二位數，不過把0開頭的也算進去，剛剛好有10組互不為鄰居數，一組10個，如下：
00、11、22、33、44、55、66、77、88、99

01、12、23、34、45、56、67、78、89、90

02、13、24、35、46、57、68、79、80、91

03、14、25、36、47、58、69、70、81、92

04、15、26、37、48、59、60、71、82、93

05、16、27、38、49、50、61、72、83、94

06、17、28、39、40、51、62、73、84、95

07、18、29、30、41、52、63、74、85、96

08、19、20、31、42、53、64、75、86、97

09、10、21、32、43、54、65、76、87、98
然後在分別在每組前加0、1、2至9，1、2、3至0，2、3、4至1，這樣下去，又剛剛好能把所有三位數分成十組，再用同樣的方法分下去，推得所有十位數也能被分成十組，所以一組有１０００００００００，扣除０開頭的，剩９００００００００個
(再請孫文先先生評一下)
引用：

PeterJiang 寫道:
回應2004-02-23 18:19:11
第5題我的想法：
如果把十位數改成二位數，就只有9個數，如：
10、21、32、43、54、65、76、87、98
第5題如果把十位數改成三位數，就有89個數，如：
100、111、122、133、144、155、166、177、188、199
201、212、223、234、245、256、267、278、289、290
302、313、324、335、346、357、368、379、380、391
403、414、425、436、447、458、469、470、481、492
504、515、526、537、548、559、560、571、582、593
605、616、627、638、649、650、661、672、683、694
706、717、728、739、740、751、762、773、784、795
807、818、829、830、841、852、863、874、885、896
908、919、920、931、942、953、964、975、986、997
以此類推四位數就有899個數，五位數就有8999個數。所以照這樣做下去一直到十位數，會有899999999個非鄰居數。
我的想法僅和你相差1個數，可以寫出你的做法嗎？
:-P :-P

孫文先

2004-02-24 20:05
為什麼三高的交點會與AC、BD的交點重合。
孫文先敬上
引用：

寫道:
請問孫老師:

高中組有一題幾何:
1.在△ABC中已知∠A的角平分線、AB邊上的中垂線及AC邊上的高這
三條線共點。試證：∠A的角平分線、AB邊上的中垂線及AB邊上的
高這三條線也共點。

我證明如下:


"http://home.pchome.com.tw/mysite/victor19871226/G.jpg"

因為OA=OC,AB=BC
所以 AC 垂直 BO

同理 BD 垂直 OC
由垂心定理知三角形三高交於一點
所以 OE 會通過 F



鳶形對角線垂直和垂心三線交於一點我沒證明
是否會被扣分?

訪客 (未驗證)

2004-02-24 21:57
孫文先先生 寫道:
n=1為什麼不合？
孫先生,我個人認為 n=1 不合 ' 連續 ' 整數的題意,所以將其排除, J+W

greg

2004-02-29 22:44
4.設a為大於1的正整數，他是一個n位數，在這個數後面在重寫一遍得到一個2n位數b。
若b是a^2的倍數，試求b/a^2的所有可能值。（給出所有的可能值並給出例子，同時證
明沒有其他值）

由題目可得b=a(10^n+1)，所以b/a^2就等於 ax(10^n+1)/a^2分子分母同除得10^n+1/a，又因為a為n位數，a又大於1，所以10^n+1/a一定為個位數，又因為10^n+1不可能有2,3,4,5,6,8,9這幾個因數，所以10^n+1/a只可能是７也就是說b/a^2只可能是７

如果b/a^2=1
10^n+1/a=1
a是n位數(10^n+1)就會是n+1位數
n+1位數/n位數
永遠都會大於一
這樣行嗎