4. 設a為大於1 的正整數，它是一個n位數，在這個數後面再重寫一遍得到一個2n位數b。若b是 a^2的倍數，試求b/a^2 的所有可能值。（給出所有可能的值並給出例子，同時證明沒有其它的值。）
國中

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greg

2004-02-29 22:46
引用：

孫文先 寫道:
4. 設a為大於1 的正整數，它是一個n位數，在這個數後面再重寫一遍得到一個2n位數b。若b是 的倍數，試求 的所有可能值。（給出所有可能的值並給出例子，同時證明沒有其它的值。



由題目可得b=a(10^n+1)，所以b/a^2就等於 ax(10^n+1)/a^2分子分母同除得10^n+1/a，又因為a為n位數，a又大於1，所以10^n+1/a一定為個位數，又因為10^n+1不可能有2,3,4,5,6,8,9這幾個因數，所以10^n+1/a只可能是７也就是說b/a^2只可能是７

如果b/a^2=1
10^n+1/a=1
a是n位數(10^n+1)就會是n+1位數
n+1位數/n位數
永遠都會大於一
這樣行嗎

訪客 (未驗證)

2004-03-05 10:28
這是我寫的證明 不知道完不完整
假設a是個n位數
那b/(a^2) = (10^n+1)/a
若b是a^2的倍數 那代表(10^n+1)/a也要能整除
而10^n+1的位數(n+1位)比a的位數(n位)多一位
如果要能整除 那所的的商必為2-10中的某數(n>=2)
n=1時 商也可能為11 此時的a=11/11=1不合
因此我們現在來考慮10^n+1能不能被2-10的數整除
因10^n+1是奇數 所以先把2,4,6,8,10去掉
再來根據倍數判別法
10^n+1其每個位數的數字總和＝1+0+0+...+0+1=2
所以不被3,9整除 其尾數也不是5或0所以 5也去掉
因此只剩下7有可能
10/7=1...3 ; (10^2)/7=14...2 ; "(10^3)/7=142...6"
(10^4)/7=1428...4 ; (10^5)/7=14285...5 ; (10^6)/7=142857...1
因此只要n=6k-3時(k是正整數)
10^n+1可被7整除
所得的商為143 , 142857143 ,142857142857143,...
所以a=上一行的那些商
因此b/a^2只可能為7