3. 有一個凸四邊形的周長為2004，其中有一條對角線之長為1001。請問這個凸四邊形的另一條對角線之長是否可能為1？或2？或1001？請說明您的理由。(四分)
國中

回應

訪客 (未驗證)

2004-03-02 10:13
2及1001可以,取橢圓半軸長a=501,兩焦點距離F1F2=2c=1001為四邊形的對角線,由定義PF1+PF2=2a=1002,又PF2>F1F2=1001,所以PF1小於1002-1001=1,取PS=2PF1是正焦弦長=2b^2/a,則2>2b^2/a>1,因為1>PF1>a-c=1/2,作圖如下:
(1)以P為圓心,2為半徑畫弧,可交橢圓於Q,則四邊形PF1QF2即為所求.周長=2004(PF1+PF2=1002,QF1+QF2=1002)
(2)以P為圓心,1001為半徑畫弧,可交橢圓於R,則四邊形PF1RF2即為所求.周長=2004(PF1+PF2=1002,RF1+RF2=1002)

(3)因2b^2/a>1,若以P為圓心,1為半徑畫弧,交橢圓於T,而形成的四邊形PTF1F2的對角線不是F1F2,所以1不可能! 請孫老師指導!

Fernando

2004-03-05 21:34
引用：

寫道:
2及1001可以,取橢圓半軸長a=501,兩焦點距離F1F2=2c=1001為四邊形的對角線,由定義PF1+PF2=2a=1002,又PF2>F1F2=1001,所以PF1小於1002-1001=1,取PS=2PF1是正焦弦長=2b^2/a,則2>2b^2/a>1,因為1>PF1>a-c=1/2,作圖如下:
(1)以P為圓心,2為半徑畫弧,可交橢圓於Q,則四邊形PF1QF2即為所求.周長=2004(PF1+PF2=1002,QF1+QF2=1002)
(2)以P為圓心,1001為半徑畫弧,可交橢圓於R,則四邊形PF1RF2即為所求.周長=2004(PF1+PF2=1002,RF1+RF2=1002)

(3)因2b^2/a>1,若以P為圓心,1為半徑畫弧,交橢圓於T,而形成的四邊形PTF1F2的對角線不是F1F2,所以1不可能! 請孫老師指導!

可不可以解釋一下橢圓的議些基本性質阿.
我還沒學過橢圓,看不太董你的解法.

mm122048

2004-03-30 23:06
我不知道這樣合不合 我的想法是
將對角線連線 便將4邊形分為4個3角形
設另一條對角線之長為X
所以 由3角形的不等式可知
2(X+1001)>2004
X+1001>1002
X>1---------------(1)
又2X<1001*2+2004
X<2002----------(2)
由(1)(2)可知 1 故另一條對角線之長度的範圍介於(1,2002)
所以1不合