4. 設 a1，a2 ，a3 ，a4 ，…為一個等差數列，已知 a1^2，a2^2 ，a3^2 也是這個等差數列中的某些項。試證：這個等差數列中的每一項都是整數。(五分)
國中

回應

greg

2004-03-05 19:52
引用：

孫文先 寫道:
4. 設a1，a2 ，a3 ，a4 ，…為一個等差數列，已知 a1^2，a2^2 ，a3^2 也是這個等差數列中的某些項。試證：這個等差數列中的每一項都是整數。(五分)


5 10 15 20 .......................是一個等差數列
而55也是等差數列...............

yl871809

2004-03-06 09:33
0.9*0.9=0.81,0.8*0.8=0.64,0.7*0.7=0.49,
0.6*0.6=0.36,0.5*0.5=0.25,0.4*0.4=0.16,
0.3*0.3=0.09,0.2*0.2=0.04,0.1*0.1=0.01
因為有小數的話,他的平方會多出更多位的小數,而因為他的平方也是數列中的一部分,所以他的平方的平方也是數列中的一部分,這樣平方下去,小數點的後面會出現無限多位,因此除了整數以外,不可能再有其它的數了:fight::fight::fight::fight::fight:

Fernando

2004-03-06 21:22
引用：

寫道:
不對！請再想清楚您要證明什麼？
孫文先敬上

我會錯題目的意思了,把它當成"證明若a1^2,a2^2,a3^2為此數列的一部分,則此數列的每一項都是整數"

訪客 (未驗證)

2004-03-06 22:46
a2^2-a1^2=d(a2+a1)=md,所以a2+a1=m是整數,同理a3^2-a2^2=d(a3+a2)=nd,所以a3+a2=n是整數.
(1)若a1是整數,則a2及a3為整數,數列每一項均為整數.
(2)若a1不是整數,令a1=p/q,(p,q)=1,a2=m-a1=m-p/q,
d=a2-a1=m-2p/q,代入a1^2-a1=kd此方程式,a1(a1-1)=k(m-2p/q)

mathematics0

2004-03-07 01:19
看看大家的發表，覺得好奇怪…題目講的很清楚啊@@

我記得這題寫得很順：
a1^2=an=a1+(n-1)d......(1)
a2^2=ak=a1+(k-1)d
(a1+d)^2=a1+(k-1)d
a1^2+2a1d+d^2=a1+(k-1)d......(2)
同理,a1^2+4a1d+4d^2=a1+(r-1)d......(3)
(n、k、r為正整數)
由(1)知(n-1)d=a1^2-a1代入(2)得
(n-1)d+2a1d+d^2=(k-1)d
由於d=0時此數列必為整數數列(自己證@@)，消d得
2a1+d=k-n為整數......(4)
將此代入(3)則得
(n-1)d+4a1d+4d^2=(r-1)d
4a1+4d=n-r為整數......(5)
(4)*2-(5)得2d為整數，代回(5)得4a1為整數
令d=x/2,a1=y/4(x、y為整數)代回(n-1)d=a1^2-a1
得x(n-1)/2=y(y-4)/16
8x(n-1)=y(y-4)則y必為4的倍數(自己證@@)
即a1為整數，代回(4)得d為整數，故這個等差數列中的每一項都是整數
(覺得自己寫的不漂亮……= =)