環球城市數學競賽2004春季賽高中高級卷第六題

就放棄第一張就好了

假如他很衰,那副排的順序是(以孫老師的例子來說):
梅紅梅紅梅紅梅紅梅紅梅紅梅紅梅紅梅紅
黑黑黑黑黑黑黑黑黑方方方方方方方方方
梅代表梅花,紅代表紅心,黑代表黑桃,方代表方塊
那要怎麼排才能猜到最多張?

請問有人想出來了嗎?

我懂了,謝謝你

一直沒注意到這題

我的想法是
(1)小方知道這疊牌的排列順序,這是其中一組暗號
(2)小田可以依照事先與小方約定好的方式
即繡m撲克牌背面圖案的朝向來猜測花色,這是另外一組暗號
(3)小田可以猜測小方如何由順序來提供暗號

透過這2個暗號便能猜出所有花色

方法是這樣的

假設背面花色是(p)前面,(d)後面
其中(p)代表黑色,(d)代表紅色

關鍵便是順序了(由上往下數)

假設小方將黑桃排的順序是4的倍數
在36以內剛好9個
假定小方將紅心排的順序是質數的前9個
2,3,5,7,11,13,17,19,23,
2個排法不衝突

小田可以猜測小方如何由順序來提供暗號,
如果小田猜對了他排的順序,便能猜出所有花色

例如第1張的背面是(p)代表黑色
那可能是黑桃或梅花
假設小田猜是梅花,並且猜對,便能繼續

假設第1張的背面是(d)代表紅色
那可能是紅心或方塊
假設小田猜是紅心,並且猜對,便能繼續
...........................................

當然這只是最佳狀況
小田當然可能猜錯

以上只是我的胡思亂想,看看就好

他用1,2來決定3, 5, 7, ..............,,31,33,這16張牌在四種花色中何種花色較多，

1是指黑色,2是指紅色嗎?反之亦可
(否則4種花色如何以2個代碼決定?)

突然覺得題目怪怪的

6. 小田宣稱他有魔法，可以從撲克牌的背面透視它的花色，
於是大家把包括有黑桃、紅心、方塊及梅花各9張的一疊36張牌洗好後，交由小方把這疊牌的牌面向下放在小田面前，要他說出這疊牌最上面一張牌的花色。當小田說出答案後即把這張牌翻開來驗證他的答案是否正確，並將這張牌放在一旁不再加入這疊牌中；接著繼續猜測下一張牌，重複以上程序。他試圖使猜測的正確次數愈多愈好。這副牌背面的圖樣完全相同但並非對稱的(即可以分辨出圖案朝前或朝後)。小方雖然知道這疊牌的排列順序，但他不能更動，也不能偷偷告訴小田。但是他可以依照事先與小田約定好的方式繡m撲克牌背面圖案的朝向來暗中協助小田。事實上，小田並無魔法，他只是利用數學方法來作分析判斷。請問在小方的協助下，小田有沒有辦法保證正確地預測到
(a) 不少於19張牌？（三分）
(b) 不少於20張牌？（五分）

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疑問1:既是由大家洗好牌,小方如何得知這疊牌的排列順序?

疑問2:題目說當小田說出答案後即把這張牌翻開來驗證他的答案是否正確，也就是說在翻牌之前,沒人知道這張牌是何種花色,那小方又如何依照事先與小田約定好的方式繡m撲克牌背面圖案的朝向來暗中協助小田,在他自己也不知道花色的情形下
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當然,如果小方可以偷瞄, 上面的疑問就不是疑問了

原來,多謝您!

引用：

孫文先 寫道:

Senior Problem 6 劉哲宇做出22張牌。太漂亮了！
他用1,2來決定3, 5, 7, ..............,,31,33,這16張牌在四種花色中何種花色較多，
3, 5, 7, ..............,,31,33,這幾張全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中四張。
4,6,8,...........,34張可用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出；35,36張只是用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)
因此至少可猜中16+4+2=22張。

請問孫老師：用「1,2來決定3, 5, 7, ............,31,33,這16張牌在四種花色中何種花色較多」以後，第4張如何用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出？因為如果要判斷出第4張的花色，就要用前面三張的其中兩張來指示，但是1,2已經用掉了，所以剩下的第3張無法判斷出第4張的花色。

孫文先 寫道:

Senior Problem 6 劉哲宇做出22張牌。太漂亮了！
他用1,2來決定3, 5, 7, ..............,,31,33,這16張牌在四種花色中何種花色較多，
3, 5, 7, ..............,,31,33,這幾張全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中四張。
4,6,8,...........,34張可用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出；



35,36張只是用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)
何謂高花低花




因此至少可猜中16+4+2=22張。

賴俊儒24張的答案再吊一下大家胃口，過幾天再公告。
孫文先敬上

引用：

孫文先 寫道:

Senior Problem 6 劉哲宇做出22張牌。太漂亮了！
他用1,2來決定3, 5, 7, ..............,,31,33,這16張牌在四種花色中何種花色較多，
3, 5, 7, ..............,,31,33,這幾張全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中四張。
4,6,8,...........,34張可用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出；35,36張只是用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)
因此至少可猜中16+4+2=22張。

如果將劉哲宇的做法改一下，可以做出23張：
先將第一張的顏色用1和0表示(黑1紅0)，用第1張的牌背和牌面的顏色就可以代替第2張。

用1來決定2, 4, 6, ..............,30,32,34這17張牌在四種花色中何種花色較多，
2, 4, 6, ..............,30,32,34這幾張全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中五張。
3,5,7,...........,31,33,張可用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出；35,36張只是用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)
因此至少可猜中16+5+2=23張。
所以我覺得賴俊儒的24張將第一張的顏色用1和0表示(黑1紅0)，來代替第2張就應該可以找到25張。

引用：

孫文先 寫道:

Senior Problem 6 劉哲宇做出22張牌。太漂亮了！
他用1,2來決定3, 5, 7, ..............,,31,33,這16張牌在四種花色中何種花色較多，
3, 5, 7, ..............,,31,33,這幾張全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中四張。
4,6,8,...........,34張可用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出；35,36張只是用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)
因此至少可猜中16+4+2=22張。

賴俊儒24張的答案再吊一下大家胃口，過幾天再公告。
孫文先敬上

這次應該是23張了，我改了第一行：
用1,2來決定。2,3, 5, 7, ..............,31,33,這。17張牌在四種花色中何種花色較多，
。2,3, 5, 7, ..............,31,33,這幾張全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中。五張。
4,6,8,...........,34張可用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出；35,36張只是用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)
因此至少可猜中。17+4+2=。23張

更正：

引用：

孫文先 寫道:

Senior Problem 6 劉哲宇做出22張牌。太漂亮了！
他用1,2來決定3, 5, 7, ..............,,31,33,這16張牌在四種花色中何種花色較多，
3, 5, 7, ..............,,31,33,這幾張全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中四張。
4,6,8,...........,34張可用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出；35,36張只是用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)
因此至少可猜中16+4+2=22張。

賴俊儒24張的答案再吊一下大家胃口，過幾天再公告。
孫文先敬上

這次應該是23張了，我改了第一行：
用1,2來決定。2,3, 5, 7, ..............,31,33,這。17張牌在四種花色中何種花色較多，
。2,3, 5, 7, ..............,31,33,這幾張全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中。五張。
4,6,8,...........,34張可用(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)指示出；35,36張只是用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)
因此至少可猜中。16+5+2=。23張

不管是22張or24張,都真是漂亮的解法......

這是我綜合劉哲宇和賴俊儒的解答改出的解答，分成前、中、後、最後和其它，共五部份：

設牌背朝上為1，朝下為0
黑桃為(0,0)，紅心為(0,1)，方塊為(1,0)，梅花為(1,1)

前段：1、2、5、6的牌背和2~7的牌面
中段：7~24的牌背和8~25的牌面
後段：26~34的牌背和牌面
最後段：35~36的牌背和牌面
其它：3、4、25、a、b、c的牌背和a、c的牌面

前段(參考劉哲宇的解答)：
先看2、3、4、5、6這5張牌在四種花色中何種花色較多，再用1、2的牌背全部猜此花色，根據鴿籠原理至少可猜中2張。

5、6的牌背猜第7張，可猜中1張。


中段和後段(參考賴俊儒的解答)：
用7、8的牌背猜8、9的牌面(猜法在「其它」會介紹)，至於要讓第8、9張猜中哪一張，視第26張的花色而定。
定義猜第8、9張等牌(錯,對)=0，(對,錯)=1，如果第26張是黑桃(0,0)，則讓第8張猜錯，第9張猜對，第26張的牌背朝下。
因此相當於
7~9 可猜中2張(包括26)
9~11 可猜中2張(包括27)
11~13 可猜中2張(包括28)
13~15 可猜中2張(包括29)
15~17 可猜中2張(包括30)
17~19 可猜中2張(包括31)
19~21 可猜中2張(包括32)
21~23 可猜中2張(包括33)
23~25 可猜中2張(包括34)


最後段(參考兩位的解答)：
35,36用0或1指示出高花先或低花先(若二張同花色不用指示即已經知道)，可猜中2張。


其它(參考兩位的解答)：
設黑桃代號0，紅心代號1，方塊代號2，梅花代號3
(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)代號0
(0,1)(1,2)(2,3)(3,0)代號1
(0,2)(1,3)(2,0)(3,1)代號2
(0,3)(1,0)(2,1)(3,2)代號3
先看(第8張的花色,第9張的花色)的代號是多少，此代號就是7~9的代號
例：如果第8張是方塊(2)，第9張是紅心(1)，3就是7~9的代號
在「中段」7~9、9~11、11~13、13~15、15~17、17~19、19~21、21~23、23~25共會有9個代號，最多的代號用3、4的牌背來表示，根據鴿籠原理最多的代號至少有3個。

「中段」的猜法，猜前面那張，用一般的方法，猜後面那張則要根據3、4的牌背表示的代號增加，如下表

7、8代表　　0時 1時 2時 3時
3、4代表0時(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)
3、4代表1時(0,1)(1,2)(2,3)(3,0)
3、4代表2時(0,2)(1,3)(2,0)(3,1)
3、4代表3時(0,3)(1,0)(2,1)(3,2)

例：3、4代表1，7、8為(1,0)，8、9分別應該猜方塊、梅花
用這種猜法，因為最多的代號用3、4的牌背來表示，所以「中段」至少有3組連對兩次，「後段」至少有3張(a、b、c)沒有用到

25、a猜a，可猜中1張
a、b猜b，可猜中1張

所以總共是2+1+18+2+2=25張

孫老師：

第8、9張牌是已經被定死了，但猜8、9張牌不是兩張都猜一樣的牌，如下：
7、8代表　　0時 1時 2時 3時
3、4代表0時(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)
3、4代表1時(0,1)(1,2)(2,3)(3,0)
3、4代表2時(0,2)(1,3)(2,0)(3,1)
3、4代表3時(0,3)(1,0)(2,1)(3,2)
換一個例子：設3、4代表1，第26張牌是黑桃(0,0)，則8、9應該是(錯,對)=0，第26張牌的牌背是0，如果第9張是梅花，根據上表，3、4代表1時要猜對第9張7、8應該代表2。

先用3、4決定中段的猜法後，表面上會和隨便決定另一種猜法猜到的牌數一樣多，但7~9、9~11、11~13、13~15、15~17、17~19、19~21、21~23、23~25共9個代號最多的代號用3、4的牌背來表示，根據鴿籠原理最多的代號至少有3個。所以「中段」至少有3組連對兩次，「後段」至少有3張(a、b、c)沒有用到

25、a猜a，可猜中1張
a、b猜b，可猜中1張

大家洗牌→小方旋轉牌的方向→小田猜牌
這句話是寫給小方聽的，小方可以根據第33張牌的花色控制第2,3張猜中哪一張，及第4,5張猜中哪一張，小田雖然不知道第33張是什麼牌，但他可以靠著第2,3,4,5張牌猜中第33張牌。

謝謝孫老師。
我現在在準備基測，考完以後再仔細重寫。
　　　盛浩敬上

我可能要想10年才能理解...

謝謝，目前正在趕工中，我會全力以赴。
盛浩敬上