數學的精神

歐拉(Euler)不是前十名數學家﹖
那在他之前的十名以上數學家是誰﹖

我也相信只要奶狺U得夠深，肯花時間研究，年齡不會是問題。
但是，年輕當學生時，比較容易專心投入，趁早努力比較好。
畢業到職場之後，除非是工作條件容部A
否則，一般的上班族，要下工夫研究數學，時間是很奢侈的。

談到研究數學到渾然忘我。
有一次我為了證明一個數學問題，想了幾天，做出一個證明，但是自己並不滿意。一天清晨，睜開眼睛突然想到了一個觀念，可以產生比較好的證明方法，於是就去提筆寫下來。那一天我非常快樂。

當你快樂的時候，會覺得身心舒爽。
而當你過著豐衣足食的好日子，不一定會覺得快樂。

When you are happy, you are good.
When you are good, you are not always happy.

我認為凡曾為數學努力過的人都很偉大，都值得敬佩。對歐拉更了解些或陰z會改變一些想法。
以下是我們即將出版之世界著名數學家傳記中有關歐拉之論文，謹供您參考。
孫文先 敬上
Tex file，誰會把它轉為pdf檔貼上？
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\vspace*{30pt}

\noindent{\kaiten 歐拉﹐{\rm L.\, (Euler﹐ Leonhard)} $1707$ 年 $4$ 月
$15$ 日生於瑞士巴塞爾~； $1783$ 年 $9$ 月 $18$ 日卒於俄國
聖彼得堡~。 數學~﹑力學~﹑天文學~﹑物理學~。 }
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歐拉的祖先原來居住在瑞士東北部博登湖 (康斯坦斯湖) 畔的小
城 ------ 林道~。十六世紀末~﹐ 他的曾祖父漢斯‧喬治‧歐拉 (Hans Georg Euler)
帶領全家順萊茵河而下~﹐ 遷居巴塞爾~。 這個家族幾代人多為手
藝勞動者~。 歐拉的父親保羅‧歐拉 (Paul Euler) 則
畢業於巴塞爾大學神學
系~﹐ 是基督教新教的牧師~。 1706 年~﹐ 保羅與另一位牧師的女兒
瑪格麗特‧勃魯克 (Margaret Brucker) 結婚~。 翌年
春~﹐ 歐拉降生~。 1708 年~﹐ 保羅
舉家遷居巴塞爾附近的村莊 ------ 里亨 (Riehen)~。 歐拉就在這田園
靜謐的鄉村度過他的童年~。

歐拉的父親很喜愛數學。 還在大學讀書時~﹐ 他就常去聽雅格布
‧伯努利 (Jacob Bernoulli) 的數學講座~。 他親自
對歐拉進行包括數學在內的
啟蒙教育~﹐ 並盼望兒子成為名門的後起之秀~。 賢惠的母親為了
使歐拉及時受到良好的學校教育~﹐ 把他送到巴塞爾外祖母家生
活了幾年~﹐ 入那裡的一所文科中學唸書~。 可是~﹐ 這所學校不
教數學~。 勤勉好學的歐拉獨自隨業餘數學家 J.\, 伯克哈特 (Burckhart) 學習~。
歐拉聰敏早慧~﹐ 酷愛數學~。 他曾下苦功研讀 C.\, 魯道夫 (Rudolf) 的《~代
數學~》 (Algebra﹐1553) 達數年之久~。

1720 年秋﹐年僅十三歲的歐拉進了巴塞爾大學文科~。 當時~﹐ 約翰
‧伯努利 (Johann Bernoulli) 任該校數學教授~。 他每
天講授基礎數學課程~﹐ 同時
還給那些有興趣的少數高材生開設更高深的數學﹑物理學講座~。
歐拉是約翰‧伯努利的最忠實的聽眾~。 他勤奮地學習所有的科
目~﹐ 但仍不滿足~。 歐拉後來在自傳中寫道~： “……不久~﹐ 我
找到了一個把自己介紹給著名的約翰‧伯努利教授的機會~。 ……他
確實忙極了~﹐ 因此斷然拒絕給我個別授課~。 但是~﹐ 他給
了我釵h更加寶貴的忠告~﹐ 使我開始獨立地學習更困難的數學
著作~﹐ 盡我所能努力地去研究它們~。 如果我遇到什麼障礙或困
難~﹐ 他允許我每星期六下午自由去找他~﹐ 他總是和藹地為我解
答一切疑難……~﹐ 無疑~﹐ 這是在數學學科上獲得成功的最好的
方法~。 ”約翰的兩個兒子尼古拉‧伯努利 II (Nicolaus
Bernoulli II)~﹑丹尼爾‧伯努利 (Daniel Bernoulli)~﹐ 也成了歐拉的摯友~。

1722 年夏﹐歐拉在巴塞爾大學獲學士學位~。 翌年~﹐ 他又獲哲學
碩士學位~。但授予這一學位是在 1724 年 6 月 8 日的會議上正式通
告的~。 此前~﹐ 他為了滿足父親的願望~﹐ 於 1723 年秋又入神學系~。
他在神學~﹑希臘語~﹑希伯萊語方面的學習並不成外。 他仍把大
部分時間花在數學上~。 儘管歐拉後來徹底放棄了當牧師的念頭~﹐
但他卻終生虔誠地信奉基督教~。

歐拉十八歲開始其數學研究生涯。1726 年﹐ 他在《博學者》
(Acta eruditorum) 上發
表了關於在有阻尼的介質中的等時曲線結構問題的文章~。 翌年~﹐ 他研
究彈道問題和船桅的最佳佈置問題~。 後者是這年巴黎科
學院的有獎徵文課題~。 歐拉的論文雖未獲得獎金~﹐ 卻得到了榮
譽提名~。 此後~﹐ 從 1738 年至 1772 年~﹐ 歐拉共獲得巴黎科學院十二次獎金~。

在瑞士﹐當時青年數學家的工作條件非常艱難~﹐ 而俄國新組建
的聖彼得堡科學院正在網羅人才~。 1725 年秋~﹐ 尼古拉 II 和丹尼
爾應聘前往俄國~﹐ 並向當局力薦歐拉~。 翌年秋~﹐ 歐拉在巴塞
爾收到聖彼得堡科學院的聘書~﹐ 請他去那裡任生理學院士助理~。
然而~﹐ 故土難離~。 歐拉開始用數學和力學方法研究生理學~﹐
同時仍期望在巴塞爾大學找到職位~。 恰好~﹐ 這時該校有一位物
理學教授病故~﹐ 出現空席~。 歐拉向學校教授議會遞交了“~論聲
音的物理學原理~” (Dissertatio physica de sono﹐1727) 的論
文~﹐ 爭取教授資格~。 在激烈的競爭中~﹐
未滿二十歲的歐拉落選了~。 1727 年 4 月 5 日歐拉告別故鄉~﹐ 5 月
24 日抵達聖彼得堡~﹐ 從那時起~﹐ 歐拉的一生和他的科學工作都
緊密地同聖彼得堡科學院和俄國聯繫在一起~。 他再也沒有回到
瑞士~。 但是~﹐ 出於對祖國的深厚感情~﹐ 歐拉始終保留了他的瑞士國籍~。

歐拉到達聖彼得堡後﹐立即開始研究工作。 不久~。 他獲得了
在真正擅長的領域從事研究工作的機會~。 1727 年~﹐ 他被任命為科
學院數學部助理院士~。 他撰寫的關於聖彼得堡科學院學術會議
情況的調查報告~﹐ 也開始在《~聖彼得堡科學院彙刊 (1727)~》
(Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae) 第二卷
(St. Petersburg﹐1729) 上發表~。 儘管那些年俄國政局動蕩~﹐
聖彼得堡科學院還處在
艱難歲月之中~﹐ 但周圍的學術氣氛對發展歐拉的才華特別有利~﹐
那裡聚集著一群傑出的科學家~﹐ 如數學家 C.\, 哥德巴赫 (Goldbach)~﹑丹
尼爾‧伯努利~﹐ 力學家 J.\, 赫爾曼 (Hermann)~﹐ 三角
學家 F.\, 梅爾 (Maier)~﹐ 天文學家和地理學家 J.N.\, 德萊索
(Delisle) 等~。 他們同歐拉的個人情誼與共
同的科學興趣~﹐ 使得彼此在科研工作中配合默契﹑相得益彰~。
1731 年~﹐ 歐拉成為物理學教授~。 1733 年~﹐ 丹尼爾‧伯努利返回巴
塞爾後~﹐ 歐拉接替了他的數學教授職務~﹐ 擔負起領導科學院數
學部的重任~。 這對親密的朋友~﹐ 以後通信四十多年~﹐ 促進了科
學的競爭和發展~。 是年冬~﹐ 歐拉和科學院預科學校的美術教師~﹑
瑞士畫家 G.\, 葛塞爾 (Gsell) 的女兒柯黛林娜 $\bullet$ 葛塞爾
(Katharina Gsell) 結婚~。 翌年~﹐
其長子約翰 $\bullet$ 阿爾勃蘭克 (Johann Albrecht) 降生~。 1740
年~﹐ 卡爾 (Karl) 出世~。 恬靜~﹑
美滿的家庭生活伴隨著歐拉科學生涯的第一個黃金時期~。

還在聖彼得堡科學院建成之初﹐ 俄國政府就責成它除了進行純
科學研究之外~﹐ 還要培養﹑訓練俄國科學家~。 為此~﹐ 科學院
建立了一所大學和預科學校~﹐ 大學辦了近五十年~﹐ 預科學校一直
辦到 1805 年~。 俄國政府還委託科學院制定俄國的地圖~﹐ 解決各種
具體技術問題~。 歐拉積極參與並領導了科學院的這些工作~。 從
1733 年起~﹐ 他和德萊索成它a進行了地圖研究~。 從三十年代中期開
始~﹐ 歐拉以極大的精力研究航海和船舶建造問題~。 這些問題對
於俄國成為海上強國~﹐ 是具有重大意義的~。 歐拉是各種技術委
員會的成員~﹐ 又擔任科學院考試委員會委員~。 他既要為科學院
的期刊撰稿﹑審稿~﹐ 還要為附屬大學~﹑預科學校準備講義~﹑開
設講座~﹐ 工作十分忙碌~。 然而~﹐ 他的主要成就是在數學研究上~。

在聖彼得堡的頭十四年間﹐ 歐拉以無可匹敵的工作效率在分析學~﹑
數論和力學等領域作出釵h輝煌的發現~。 截止 1741 年~﹐ 他完成了
近九十種著作~﹐ 公開發表了 55 種~﹐ 其中包括 1936 年完成的兩卷本《~力
學或運動科學的分析解說》 (Mechanica sive motus scientia
analytice exposita)~。 他的研究碩果累累~﹐ 聲
望與日俱增~﹐ 贏得了各國科學家的尊敬~。 歐拉從前的導師約翰
‧伯努利早在 1728 年的信中就稱他為“最善於學習和最有天賦的科
學家~”~﹐ 1737 年又稱他是“~最馳名和博學的數學家”~。 歐拉後來
謙遜地說~： “……我和所有其他有幸在俄羅斯帝國科學院工作
過一段時間的人都不能不承認~﹐ 我們應把所獲得的一切和所掌
握的一切歸功我們在那兒擁有的有利條件~。 ”

由於過度的勞累﹐1738 年﹐ 歐拉在一場疾病之後右眼失明了~。
但他仍舊堅韌不拔地工作~。 他熱愛科學~﹐ 熱愛生活~。 他非常
喜歡孩子 (他一生有過十三個孩子~﹐ 除了五個以外都夭亡了)~。
寫論文時往往膝上抱著嬰兒~﹐ 大一點的孩子則繞膝戲耍~。 他酷
愛音樂~。 在撰寫艱深的數學論文時~﹐ 他的“那種輕鬆自如是令人難以置信的”~。

1740 年秋冬﹐俄國政局再度驟變﹐ 形勢極不安定~。 歐拉此時與
聖彼得堡科學院粗魯﹑專橫的顧問 J.D.\, 舒馬赫爾 (Schumacher)
也產生了磨擦~。 為了使自己的科學事業不愛損害~﹐ 歐拉希望尋求新的出路~。
恰好這年夏天繼承了普魯士王位的腓特烈 (Frederick) 大帝決定重振柏林科
學院~﹐ 他熱情邀請歐拉去柏林工作~。 歐拉接受了邀請~。 1741 年
6 月 19 日~﹐ 歐拉啟程離開聖彼得堡~﹐ 7 月 25 日抵達柏林~。

柏林科學院是在 G.W.\, 萊布尼茨 (Leibniz) 的大力推動下於 1700
年創立的~﹐ 後來它衰落了~。 歐拉在柏林 25 年~。 那時~﹐ 他精力旺盛~﹐ 不知疲
倦地工作~。 他鼎力襄助院長 P.\, 莫佩蒂 (Maupertuis)~﹐ 在恢復
和發展柏林科學院的工作中發揮了重作用~。

在柏林~﹐ 歐拉任科學院數學部主任。 他是科學院的院務委員﹑
圖書館顧問和學術著作出版委員會委員~。 他擔負起了其他釵h
行政事務~﹐ 如管理天文台和植物園~﹐ 提出人事安排~﹐ 監督財
務~﹐ 以及曆書和地圖的出版工作~。 當院長莫佩蒂外出期間~﹐
歐拉代理院長~﹐ 1759 年莫佩蒂去世後~﹐ 雖然沒有正式任命歐拉為
院長~﹐ 但他實際上一直領導著科學院的工作~。 歐拉和莫佩蒂的
友誼~﹐ 使歐拉能對柏林科學院的一切活動~﹐ 尤其是在選拔院士
方面~﹐ 施加巨大影響~。

歐拉還擔任過普魯士政府關於安全保險﹑退休金和撫恤金等問題
的顧問~﹐ 並為腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果 (1745 年)~﹐
設計改造費諾 (Finow) 運河 (1749 年)~﹐ 曾主管普魯士皇家別墅水力系統
管系和泵系的設計工作~。 他和德國釵h大學的教授保持廣泛聯
繫~﹐ 對大學教科書的編寫和數學教學起了促進作用~。

在此期間﹐ 歐拉一直保留著聖彼得堡科學院院士資格~﹐ 領取年
俸~。 受該院委託~﹐ 歐拉為其編纂院刊的數學部分~﹐ 介紹西歐
的科學思想~﹐ 購買書籍和科學儀器~﹐ 同時推薦研究人員和課題~。
他在培養俄國的科學人才方面起了重大的作用~。 他還經常把自
己的學術論文寄往聖彼得堡~。 他的論文約有一半是用拉丁文在
聖彼得堡發表的~﹐ 另一半用法文在柏林出版~。 另外~﹐ 他還先
後當選為倫敦皇家學會會員 (1749 年)~。 巴塞爾物理數學會會員
(1753 年) 及巴黎科學院院士 (1755 年)~。

柏林時期是歐拉科學研究的鼎盛時期﹐ 其研究範圍迅速擴大~。
他與 J.R.\, 達朗貝爾 (D'Alembert) 和丹尼爾‧伯努利
展開的學術競爭奠定了數學
物理的基礎~； 他與 A.\, 克萊羅 (Clairaut) 和達朗貝爾一起推進了月球和行
星運動理論的研究~。 與此同時~﹐ 歐拉詳盡地闡述了剛體運動理
論~﹐ 創立了流體動力學的數學模型~﹐ 深入地研究了光學和電磁
學~﹐ 以及消色差折射望遠鏡等釵h技術問題~。 他寫了大約 380 篇
(部) 論著出版了其中的 275 種~。 內有分析學﹑力學﹑ 天文學~﹑
火炮和彈道學﹑船舶建造和航海等方面的幾部巨著~﹐ 其中 1748 年
出版的兩卷集著作《無窮分析引論》 (Introductio in analysin
infinitorum) 在數學史上佔有十分重要的地位~。

歐拉參加了十八世紀四十年代關於萊布尼茨和 C.\, 沃爾夫 (Wolff)
的單子論的激烈辯論~。 歐拉在自然哲學方面接近 R.\, 笛卡兒 (Descartes)
的機械唯物主義~﹐ 他和莫佩蒂都是單子論的“勁敵”~。 1751 年~﹐ S.\, 柯
尼格 (K\"onig) 以聳人聽聞的新論據~﹐ 發表了幾篇批評莫佩蒂的“~最小作用原
理~”的文章~。 歐拉翌年撰文反駁~﹐ 並同莫佩蒂用更淺顯的語言
來解釋最小作用原理~。 除了這些哲學和科學的爭論以外~﹐ 對於
數學的發展來說~﹐ 歐拉參加了另外三場更重要的爭論~： 與達朗
貝爾關於負數對數的爭論~； 與達朗貝爾~﹑丹尼爾‧伯尼利關於
求解弦振動方程的爭論~； 與 J.\, 多倫 (Dollond) 關於光學問題的爭論~。

1759 年莫佩蒂去世後﹐歐拉在普魯士國王的直接監督之下負責柏
林科學院的工作~。 歐拉同腓特烈大帝之間的關係並不融洽~。 1763
年~﹐ 當獲悉腓特烈想把院長的職務授予達朗貝爾後~﹐ 歐拉開始
考慮離開柏林~。 聖彼得堡科學院立即遵照凱瑟琳 (Catherine) 女皇旨意
寄給歐拉聘書~﹐ 誠摯希望他重返聖彼得堡~。 但是達朗貝爾拒絕
長期移居柏林~﹐ 使腓特烈一度推遲就院長人選作最後的決定~。
“~七年戰爭~”之後~﹐ 腓特烈粗暴地干涉歐拉對柏林科學院的事
務管理~。 1765 年至 1766 年~﹐ 在財政問題上~﹐ 歐拉與腓特烈之間引
發了一場嚴重的衝突~。 他懇請普魯士國王同意他離開柏林~。 1766
年 7 月 28 日~﹐ 歐拉重返聖彼得堡~﹐ 他的三個兒子和兩個女兒也
回到俄國~﹐ 伴於身旁~。

歐拉的家安置在涅瓦河畔離聖彼得堡科學院不遠的舒適之處~。
他的長子阿爾勃蘭克這年成為科學院院士﹑物理學部教授~﹐ 三
年後又被任命為科學院的終身秘書~。 1766 年~﹐ 歐拉父子還同時當
選為科學院執行委員~。 歐拉的工作是順心的~﹐ 然而~﹐ 厄運也
接二連三地向他襲來~。 回到聖彼得堡不久~﹐ 一場疾病使歐拉的
左眼幾乎完全失明~。 這時~﹐ 他已經不能再看書了~。 只能勉強
看清大字體的提綱~﹐ 用粉筆在石板上寫很大的字母~。 1771 年~﹐
歐拉雙目完全失明~。 這一年~﹐ 聖彼得堡的一場特大火災又使歐
拉的住所和財產付之一炬~﹐ 僅搶救出歐拉及其手稿~。 1773 年 11 月~﹐
歐拉夫人柯黛琳娜去世~。 三年後~﹐ 她同父異母的妹妹莎洛姆
‧葛塞爾 (Salome Gsell) 成為歐拉的第二個妻子~。

歐拉晚年遭受雙目失明﹑火災和喪偶的沉重打擊~﹐ 他仍不屈不
撓地奮鬥~﹐ 絲毫沒有減少科學活動~。 在他的周圍~﹐ 有一群主
動的合作者~﹐ 包括~： 他的兒子阿爾勃蘭克和克利斯托夫 (Christoph)~；
W.L.\, 克拉夫特 (Krafft) 院士和 A.J.\, 萊克塞爾 (Lexell)
院士~； 兩位年輕的助手 N.\, 富
斯 (Fuss) 和 M.E.\, 哥洛文 (Golovin)~。 歐拉和他們一起討
論著作出版的總計劃~﹐ 有時簡要地口述研究成果~。 他們則使歐拉的設想變得更加明
確~﹐ 有時還為歐拉的論著編纂例證~。 據富斯自己統計~﹐ 七年
內他為歐拉整理論文 250 篇~﹐ 哥洛文整理了 70 篇~。 歐拉非
常尊重別人的勞動~。 1772 年出版的《月球運動理論和計算方法~》
(Theoria motuum lunae﹐nova methodo pertractata) 是在阿爾
勃蘭克﹑克拉夫特和萊克塞爾的幫助下完成的~﹐ 歐
拉把他們的名字都印在在這本書的扉頁上~。

重返聖彼得堡後﹐ 歐拉的著作出版得更多~。 他的論著幾乎有一
半是 1765 年以後出版的~。 其中~﹐ 包括他的三卷本《~積分學原理~》
(Institutiones calculi integralis﹐1768--1770) 和《~關於物
理學和哲學問題給德韶公主的信》 (Lettres \`a une princesse
d'Allemagne Sur divers sujets de physique et de philosophie﹐
1768--1772)~。 前者的最
重要部分是在柏林完成的~。 後者產生於歐拉給普魯士國王的姪
女的授課內容~。 這本文筆優雅﹑通俗易懂的科學著作出版後~﹐
很快就在歐洲翻譯成多種文字~﹐ 暢銷各國~﹐ 經久不衰~。 歐拉
是歷史上著作最多的數學家~。

歐拉的多產也得益於他一生非凡的記憶力和心算能力~。 他七十歲
時還能準確地回憶起他年輕時讀過的荷馬史詩《伊利亞特》 (Iliad) 每
頁的頭行和末行~。 他能夠背誦出當時數學領域的主要公式和前
100 個質數的前六次冪~。 M.\, 孔多塞 (Condorcet) 講述過一個
例子~﹐ 足以說明歐拉的心算本領~： 歐拉的兩個學生把一個頗為複雜的收斂級數
的 17 項相加起來~﹐ 算到第 50 位數字時因相差一個單位而產生了
爭執~。 為了確定誰正確~﹐ 歐拉對整個計算過程進行心算~﹐ 最
後把錯誤找出來了~。

1783 年 9 月 18 日﹐ 歐拉跟往常一樣﹐ 度過了這一天的前半天~。
他給孫女輔導了一節數學課~﹐ 用粉筆在兩塊黑板上作了有關氣
球運動的計算~﹐ 然後同萊克塞爾和富斯討論兩年前 F.W.\, 赫歇爾 (Herschel)
發現的天王星的軌跡計算~。 大約下午 5 時~﹐ 歐拉突然腦出血~﹐
他只說了一句“~我要死了~”~﹐ 就失去知覺~。 晚上 11 時~﹐ 歐
拉停止了呼吸~。

歐拉逝世不久﹐富斯和孔多塞分別在聖彼得堡科學院和巴黎科
學院的追悼會上致悼詞~。 孔多塞在悼詞的結尾耐人尋味地說~：
“~歐拉停止了生命~﹐ 也停止也計算~。 ”

歐拉的著作在他生前已經有多種輸入了中國﹐ 其中包括著名的~﹑
1748 年初版本的《無窮分析引論》~。 這些著作有一部分曾藏於北
京北堂圖書館~。 它們是十八世紀四十年代由聖彼得堡科學院贈給北
京耶穌會或北京南堂耶穌學院的~。 這也是中俄數學早期交流的
一個明證~。十九世紀七十年代~﹐ 清代數學家華蘅芳和英國人傅蘭雅
(John Fryer) 合譯的《代數術》 (1873) 和《~微積溯源~》 (1874)~﹐
都介紹了歐拉學說~。
在此前後~﹐ 李善蘭和偉烈亞力 (Alexander Wylie) 合譯的《~代數
學~》 (1859)~﹑趙元益
譯的《~光學~》 (1876)~﹑黃鍾駿的《疇人傳四編》 (1898) 等著作也記載了歐
拉學說或歐拉的事蹟 (~詳見文獻 [32])~。 中國人民是很早熟悉歐
拉的~。 歐拉不僅屬於瑞士~﹐ 也屬於整個文明世界~。 著名數學
史家 А.П. 尤什凱維奇 ({\cc Юшкевич}) 說~﹐ 人們可以藉 B.\,
弗坦內里 (Fontenelle) 評價萊布尼茨的話來評價歐拉~﹐ “他是樂於看到自己提
供的種子在別人的植物園裡開花的人~。 ”
\v 14pt

在歐拉的全部科學貢獻中~﹐ 其數學成就佔據最突出的地位~。 他
在力學﹑天文學﹑物理學等方面也閃現著耀眼的光芒~。
\vskip 14pt

\centerline{\sonmid 數\hskip 45pt學}
\v 10pt

歐拉是十八世紀數學界的中心人物。 他是繼 I.\, 牛頓 (Newton) 之後最重要
的數學家之一~。 在歐拉的工作中~﹐ 數學緊密地和其他科學的應
用~﹑各種技術問題的應用以及公眾的生活聯繫在一起~。 他常常
直接為解決力學~﹑天文學~﹑物理學~﹑航海學~﹑地理學~﹑大地測量
學~﹑流體力學~﹑彈道學~﹑保險業和人口統計學等問題提供數學方
法~。 歐拉的這種面向實際的研究風格~﹐ 使得人們常說~： 應用
是歐拉研究數學的原因~。 其實~﹐ 歐拉對數學及其應用都十分愛
好~。 作為一位數學家~﹐ 歐拉把數學用到整個物理領域中去~。
他總是首先試圖用數學形式表示物理問題~﹐ 為解決物理問題而
提出一種數學思想並系統地發展和推廣這一思想~。 因此~﹐ 歐拉
在這個領域中的傑出成就作為一個整體~﹐ 可以用數學語言加以
系統地闡述~。 他酷愛抽象的數學問題~﹐ 非常著迷於數論就是例
子~。 歐拉的數學著作在其各種科學著作中所佔的比重也明顯地
說明了這一點~。 現代版的《歐拉全集》 (Leonhardi Euleri Opera
omnia﹐1911--？) 72 卷 (74 部分~； 近況詳
見文獻 [1]) 中有 29 卷屬於純粹數學~。

歐拉在連續和離散數學這兩方面都同樣有著力~﹐ 這是他的多方面
天才的最顯著的特點之一~。 但是~﹐ 在他的數學研究中~﹐ 首推
第一的是分析學~。 這同他所處的時代~﹐ 特別是當時自然科學對
分析學的迫切需要有關~。 歐拉把由伯努利家族繼承下來的萊布
尼茨學派的分析學的內容進行整理~﹐ 為十九世紀數學的發展打下
了基礎~﹐ 他還把微分積分法在形式上進一步發展到複數的範圍~﹐
並對偏微分方程~﹑橢圓函數論﹑ 變分法的創立和發展留下先
驅的業績~。 在《~歐拉全集~》中~﹐ 有 17 卷屬於分析學領域~。 他
被同時代的人譽為“~分析的化身~”~。

歐拉的計算能力﹐特別是他的形式計算和形式變換的高超技巧~﹐
無與倫比~。 他始終不渝地探求既能簡明應用於計算~﹐ 又能
保證計算結果足夠準確的算法~﹐ 只是在十九世紀開始的“~注意嚴
密性~”方面~﹐ 略顯不足~。 他沒有適當地注意包含無限過程的公
式的收斂性和數學存在性~。 歐拉還是釵h新的重要概念和方法
的創造者~。 這些概念和方法的重要價值~﹐ 有時只是在他去世一
個世紀甚至更長的時間以後才被人們徹底理解~。 譬如~﹐ 美籍華
人數學家陳省身教授說過~： “歐拉示性數是整體不變量的一個源泉~。 ”

歐拉是在數學研究中善於用歸納法的大師~。 他用歸納法~﹐ 也就
是說~﹐ 他憑觀察﹑大膽猜測和巧妙證明得出了釵h重要的發現~。
但他告誡人們~： “我們不要輕易地把觀察所發現的和僅以歸納
為旁證的關於數的那樣一些性質信以為真~。 ”歐拉從不用不完
全的歸納來最後證明他提出的假定是正確的~。 他的研究結果本
質上是建立在嚴密的論證形式之上的~。

歐拉採用了釵h簡明﹑精煉的數學符號~。 譬如~﹐ 用 $e$ 表示自然
對數的底~﹐ $f(x)$ 表示函數~﹐ $\int_n$ 表示數 $n$ 的
約數之和~﹐ $\Delta y,\ \Delta^2 y,\ $ … 表示有
限差分~﹐ $\sum$ 表示求和~﹐ $i$ 表示虛數單位 $\sqrt{-1}$~﹐
還有現代三角函數符號~﹐ 等等~。 這些符號從十八世紀一直沿用至今~。

在數學領域內﹐十八世紀可以正確地稱為歐拉世紀~。 約翰‧伯努
利在給歐拉的一封信中說過~：“~我介紹高等分析的時候~﹐ 它還
是個孩子~﹐ 而你正在把它帶大成人~。 ” P.S.\, 拉普拉斯 (Laplace) 常常告訴
年輕的數學家們~：“~讀讀歐拉~﹐ 讀讀歐拉~﹐ 他是我們大家的
老師~。~”歐拉對數學發展的影響不限於那個時期~。十九世紀最著
名的數學家 C.F.\, 高斯 (Gauss)~﹑A.L.\, 柯西 (Cauchy)~﹑
М.И. 羅巴切夫斯基 ({\cc Лобачевский})~﹑П.Л. 切比雪夫
({\cc Чебышев})~﹑ C.F.B.\, 黎曼 (Riemann) 常從歐拉的工作出發開展自
己的工作~。 高斯說過~： “歐拉的工作的研究將仍舊是對於數學不同範圍的最好學
校~﹐ 並且沒有任何別的可以替代它~。 ”人們還可以從由切比雪夫
奠基的聖彼得堡數學學派追溯歐拉開闢的眾多道路~。
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{\heiten 1.\h 10pt 數論}
\v 5pt

古代希臘和中國的數學家研究過數的性質。十七世紀﹐P. de 費馬 (Fermat)
開闢了近代數論的道路~。 他提出了若干值得注意的算術定理~﹐
但幾乎未留下任何證明~。 歐拉的一系列成果奠定了作為數學中
一個獨立分支的數論的基礎~。

歐拉的著作有很大一部分同數的可除性理論有關~。 他很早就採
用了同餘概念~﹐ 1736 年~﹐ 歐拉首先證明了數論中重要的費馬小定
理~。 1760 年~﹐ 他引進函數 $\phi(n)$~﹐ 給出了這個定理的重要推廣~： 如
果 $a$ 與 $n$ 互質~﹐ 則 $a^{\phi (n)}-1$ 可以被 $n$
整除~。 這就是歐拉定理~。 其中~﹐ $\phi (n)$ 表示小於 $n$ 且與 $n$
互質的正整數的個數~﹐ 叫歐拉函數~。
歐拉在數論中最重要的發現是二次互反律~。 它表述在 1783 年的一
篇論文中~﹐ 但未給予證明~。 這個定理的敘述實際上早已包含在
歐拉以前寫的論文中了~﹐ 只是未引起同時代人的注意~。 二次
互反律是十九世紀數論中的最富有首創精神﹑可能引出最多成果的
發現~。後來~﹐ A.M.\, 勒讓德 (Legendre) 重新發現並不完全地證明了它~。 高
斯參考了歐拉﹑勒讓德的著作~﹐ 於 1801 年發表了二次互反律的完
整的證明~。 他把這個初等數論中至關重要的定理譽為“~算術中
的寶石~”~。 二次互反律後來引起了釵h數學家~﹐ 如 E.E.\, 庫默爾 (Kummer)~﹑
D.\, 希爾伯特 (Hilbert)~﹑ E.\, 阿廷 (Artin) 等人對代數數域內
高次互反律的研究~﹐出現了不少意義深刻的工作~。 1850 年~﹐ I.R.\, 沙法熱維奇
(Shafarevich) 建立了廣義互反律~。

歐拉還致力於丟番圖 (Diophantus) 分析的研究~。 費馬重新發現了求解方程
$x^2-Ay^2=1$ 的問題 (其中~﹐ $A$ 是整數但非平方數)~﹐ J.\, 沃利斯
(Wallis) 全部解出了這個問題~。 歐拉在 1732--1733 年的一篇論文中~﹐ 誤稱其為
佩爾 (Pell) 方程~﹐ 這個名稱也就這樣固定下來了~。 1759 年~﹐ 歐拉通
過把 $\sqrt A$ 表成一個連分式~﹐ 給出了一種解佩爾方程的方法~。 此後不久~﹐
J.L.\, 拉格朗日 (Lagrange) 開始對這個問題進行全面研究~。 對費馬關於“~不
定方程 $x^n+y^n=z^n(n>2)$ 沒有正整數解”的著名猜測 (此處 $x,\ y,\ z$
均為整數~﹐ $xyz\ne 0$)~﹐ 1753 年歐拉證明 $n=3$ 時~﹐ 它是正確的~。 歐
拉的證明建立在無窮遞降法的基礎上~﹐ 並利用了形如 $a+b\sqrt{-3}$ 的複數~。
他在《~代數學入門~》 (Vollst\"andige Anleitung Zur Algebra﹐1770~﹐ 德文版)
一書詳盡地敘述了這個證明~。 此書兩卷~﹐ 最先以俄文發表於聖彼得堡~﹐ 其
中~﹐ 第二卷有很大篇幅是關於丟番圖分析的研究~。

歐拉用算術方法和代數方法研究上述問題~﹐ 他還首先在數論中
運用分析方法~﹐ 開解析數論之先河~。 他利用調和級數
$$1+{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots$$
的發散性~﹐ 簡單而巧妙地證明了質數個數無窮的歐幾里得定理~。
1737 年~﹐ 歐拉推出了下列著名的恆等式~：
$$\sum_{n=1}^\infty{1\over n^s}=\prod\limits_p
\left(1-{1\over p^s}\right)^{-1}\hbox{。}$$
式中 $\prod\limits_p$ 表示對所有的質數求積。 等式左邊即
後來黎曼所稱的 $\zeta$ 函數 $\zeta(s)$~。 1749 年~﹐ 歐拉應
用發散級數求和法和歸納法~﹐ 發現了與 $\zeta(s),\ \zeta(1-s)$
和 $\Gamma(s)$ 有關的函數方程~﹐ 即~： 對於實的 $s$~﹐ 有
$$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s}\cos{\pi s\over 2}\Gamma(s)\zeta(s)\hbox{。}$$
黎曼後來重新發現並建立了這個函數方程~﹐ 他是第一個定義 $\zeta$
函數~﹐ 也是第一個定義自變量為複值的 $\zeta$ 函數的科學家~。十九世
紀和二十世紀~﹐ $\zeta$ 函數已成為解析數論最重要的工具之一~﹐ 尤其
在 L.\, 狄利克雷 (Dirichlet)~﹑切比雪夫~﹑黎曼~﹑ J.\, 阿達瑪 (Hadamard)
等人關於質數分佈的研究中更是如此~。

歐拉還研究了數學常數以及同超越數論有關的重要問題~。 J.H.\, 藍
伯特 (Lambert) 1768 年證明 $e$ 和 $\pi$ 是無理數時~﹐ 曾用
連分數表示 $e$~﹐ 但連
分式是歐拉首先採用並奠定理論基礎的~。 1873 年~﹐ C.\, 埃爾米特
(Hermite) 證明 $e$ 是超越數~。 1882 年~﹐ F.\, 林德曼 (Lindemann)
應用歐拉公式 $e^{i\pi}=-1$ (歐拉 1728
年發現的)~﹐ 證明了 $\pi$ 是超越數~﹐ 因此~﹐ 用直尺和圓規作出
一個正方形和已知面積相等是不可能的~﹐ 從而解決了古希臘遺
留下來的“化圓為方”的問題~。 歐拉常數
$$r=\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+
{1\over n}-\ln n\right)$$
的超越性的猜測﹐ 則至今尚未解決。
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{\heiten 2.\h 10pt 代數}
\v 5pt

十七世紀﹐ 代數是人們興趣的一個重要中心~。 到了十八世紀~﹐ 它
變成從屬於分析~﹐ 人們很難把代數和分析互相區別開來~。 歐拉很
早就把對數定義為指數~﹐ 並於 1728 年在其一篇未發表的手稿中引
入 $e$ 作為自然對數的底~。 1732 年~﹐ 歐拉對 G.\, 卡爾達諾 (Cardano) 的三次方
程解法作出了第一個完整的討論~。 他還試圖找到用根式表示的
高於四次的方程之解的一般形式~﹐ 誠然這是徒勞的~。 1742 年~﹐
歐拉在給尼古拉 I ‧伯努利和哥德巴赫的信中~﹐ 第一次提出
了所有實係數的 $n$ 次多項式都可以分解為實一次或實二次因式的
定理~﹐ 即具有 $n$ 個形如 $a+bi$ 的根~。 這是和代數基本定理等價的重
要命題~﹐ 先後由達朗貝爾和歐拉證明~。 他們的證明思路不同~﹐
但都不夠完全~。十九世紀有了更精確的證明~。 前述的歐拉《~代
數學入門~》一書~﹐ 是十六世紀中期開始發展的代數學的一個系統
總結~。 此書出版後~﹐ 很快被譯成英文~﹑荷蘭文~﹑意大利文~﹑法
文等多種文字~﹐ 對於十九世紀和二十世紀代數學教科書的編寫產生極大影響~。
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{\heiten 3.\h 10pt 無窮級數}
\v 5pt

在十七世紀建立微積分的同時~﹐ 無窮級數也進入了數學的實踐~。
十八世紀是級數理論的形式發展時期~。 在歐拉的著作中~﹐ 無窮
級數起初主要用作解題的輔助手段~﹐ 後來成為他研究的一個科
目~﹐ 實際知識達到了很高水平~。 前面提到的對著名的 $\zeta$ 函數的
研究就是一個例子~。 其出發點是整數平方的倒數求和問題
$$\sum_{n=1}^\infty{1\over n^z}=\zeta (z),$$
伯努利兄弟﹑ J.\, 斯特靈 (Stirling) 和其他一些數學家都曾徒勞地探討過它~。
1735 年~﹐ 歐拉解決了一個普遍得多的問題~﹐ 證明了對於任意偶
數 $2K>0$~﹐
$$\xi(2K)=a_{2K^{\pi^{2K}}},$$
這裡 $a_{2K}$ 是有理數﹐ 它後來分別通過歐拉--馬克勞林求和公式的係
數與伯努利數來表示~。 歐拉還給出了當 $2K+1$ 是前面幾個小奇數時
$\sum\limits_{n=1}^\infty \diss 1{n^{2K+1}}$ 的和~﹐ 但對所有的
奇數 $2K+1$~﹐$\xi(2K+1)$ 的算術性質至今尚不清楚~。

歐拉大約在 1732 年發現了上述求和公式~﹐ 他於 1735 年給出了證明~。
C.\, 馬克勞林 (Maclaurin) 不謀而合地在幾年後又獨立地發現了它~﹐ 並且所
用的方法稍好些~﹐ 也更接近於今天所用的方法~。 這個公式是有
限差演算的最重要的公式之一~。 有限差演算方法是由 B.\, 泰勒 (Taylor)
和斯特靈奠基的~。 歐拉的《微分學原理》 (Introductio calculi
differentialis﹐1755) 是有限差演算的第
一部論著~﹐ 他第一個引進差分算子~。 藉助於這個求和公式~﹐
1735 年~﹐ 歐拉把前述的歐拉常數 $\gamma$ 的值計算到小數點後十六位

\cen {$\gamma=0.57721566\cdots$。}

歐拉在大量地應用冪級數時~﹐ 還引進了新的極其重要的傅里葉
三角級數類~。 1744 年他在給哥德巴赫的一封信中~﹐ 談到了用三角
級數表示代數函數的例子~：
$${\pi\over 2}-{x\over 2}=\sin x+{\sin 2x\over 2}+
{\sin 3x\over 3}+\cdots\hbox{。}$$
它發表在 1755 年的《微分學原理》中。 此後~﹐ 他又得到了其他的
展開式~。 1777 年~﹐ 為了把一個給定函數展成在 $(0,\ \pi)$ 區間上的餘弦級
數~﹐ 歐拉又推出了傅里葉係數公式~。 歐拉的論文遲至 1798 年才發
表~。 他採用的正是現行通用的逐項積分方法~。 J.B.J.\, 傅里葉 (Fourier) 對歐
拉的工作並不了解~﹐ 他於 1807 年得到相同的公式~。 歐拉也不知克
萊羅 1759 年的相應工作~。

歐拉還把函數展開式引入無窮乘積以及求初等分式的和~﹐ 這些
成果在後來的解析函數一般理論中佔有重要的地位~。 無窮級數~﹑
無窮乘積和連分式之間釵h相互變換的方法也是歐拉發現的~。

形式觀點在十八世紀無窮級數的工作中佔統治地位~。 級數被看成
是無窮的多項式~﹐ 並且就當作多項式來處理~﹐ 對其收斂和發散
的問題是不太認真對待的~。 歐拉多少意識到收斂性的重要~﹐ 他
也看到了關於發散級數的某些困難~﹐ 特別是用它們進行計算時
產生的困難~。 為了尋求收斂的一般理論~﹐ 歐拉確信且著手進行
建立發散級數轉變為收斂級數的法則這一艱苦的工作~。 為此~﹐
他對級數的和這一概念提出了新的更廣泛的定義~。 他還提出兩
種求和法~。 這些豐富的思想~﹐ 對十九世紀末﹑二十世紀初發散級數
理論中的兩個主題~﹐ 即漸近級數理論和可和性的概念產生了深遠影響~。
\v 10pt

{\heiten 4.\h 10pt 函數概念}
\v 5pt

\rightskip=6.5cm
十八世紀中葉﹐ 分析學領域有釵h新的發現~﹐ 其中不少是歐拉自己的
工作~。 它們系統地概括在歐拉的《無窮分析引論》 (圖 1)~﹑
《微分學原理》和《積分學原理》組成的分析學三部曲中~。 這
三部書是分析學發展的里程碑式的著作~。 它們至今饒有興
味~﹐ 尤其《無窮分析引論》的第一卷更是如此~。 專家們可以從
這些著作中追尋分析學釵h富有成果的方法的發展足跡~。

\noindent \h 18pt 《無窮分析引論》共兩卷﹐它是第一本溝通微積分與初等分析
的書~。 在這部書中~﹐ 歐拉第一次清晰地論述了數學分析是研究
函數的科學~﹐ 並對函數概

\rightskip=0cm
\noindent 念作了更加透徹的研究~。\h 10pt {\soneight 圖 1\h 5pt
《無窮分析引論》的扉頁﹐洛桑﹐1748 年}

\noindent 他一開頭~﹐
就把函數定義為由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解
析表達式~。 在這一點上~﹐ 他繼承了約翰‧伯努利的思想~。 歐
拉寫道~﹐ 函數間的原則區別在於組成這些函數的變量與常量的
組合法不同~。 他在書中給出了現今還廣泛應用的函數的分類~。
歐拉還區分了顯函數與隱函數~﹐ 單值函數與多值函數~。 他按照
自己和所有同時代的人的經驗~﹐ 堅信所有的函數都能展成級數~。
歐拉認為函數的自變量不僅可以取實值~﹐ 也可以是虛值~﹐ 這一見解極其重要~。

在歐拉﹑達朗貝爾和丹尼爾‧伯努利等釵h數學家捲入的關於弦
振動問題的研究中~﹐ 發生了關於函數概念的爭論~。 它促使歐拉
去推廣自己的函數概念~。 1755 年~﹐ 歐拉在《微分學原理》一書中
給函數下了一個新定義~： “如果某些量這樣地依賴於另一些量~：
當後者改變時它經受變化~﹐ 那麼稱前者為後者的函數~。 ”
不過~﹐ 在《無窮分析引論》中~﹐ 歐拉就已把函數當作對應值加以論述~。
\v 10pt

{\heiten 5.\h 10pt 初等函數}
\v 5pt

《無窮分析引論》第一卷共 18 章~﹐ 主要研究初等函數論~。 其中~﹐
第八章研究圓函數~﹐ 第一次闡述了三角函數的解析理論~﹐ 並
且給出了棣莫弗 (de Moivre) 公式
$$e^{\pm xi}=\cos x\pm i\sin x$$
的一個推導。 雖然 R.\, 科茨 (Cotes) 在 1714 年發表了這個公式且與歐拉
給出的略有不同~﹐ 但只有歐拉才使該公式得到了廣泛的應用~。
歐拉在《無窮分析引論~》中研究了指數函數和對數函數~﹐ 他給出著名的表達式
$$e^z=\lim_{i\to\infty}\left(1+{z\over i}\right)^i$$
(這裡 $i$ 表示趨向於無窮大的數~； 1777 年後~﹐ 歐拉用 $i$
表示 $\sqrt{-1}$)~﹐
但僅考慮了正自變量的對數函數~。 1751 年~﹐ 歐拉發表了完備的
複數理論~。 他斷言~： 對正實數而言~﹐ 對數只有一個實值~﹐ 其
餘都是虛值~；但對於負實數或虛數而言~﹐ 對數的一切值都是虛
的~。 歐拉對這個問題的成斥捄泠﹐ 實際上結束了此前 1747--1748 年在萊
布尼茨和約翰‧伯努利之間~﹐ 達朗貝爾和歐拉本人之間通過信
件進行的關於負數的對數的爭論~。 但他的工作當時並未被人們接受~。
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{\heiten 6.\h 10pt 單複變函數}
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通過對初等函數的研究~﹐ 達朗貝爾和歐拉在 1747--1751 年間先後得到了
(用現代術語表達的) 複數域關於代數運算和超越運算封閉的結
論~。 他們兩人還在解析函數的一般理論方面取得了最初的進展~。
1752 年~﹐ 達朗貝爾在研究流體力學時發現了把解析函數
$u(x, y)+iv(x, y)$ 的實部
和虛部連結在一起的方程~。 1757 年~﹐ 歐拉在提交聖彼得堡科學院
的一篇論文中推出了同樣的方程
$${\partial u\over\partial x}={\partial v\over\partial y},\quad
{\partial u\over\partial y}=-{\partial v\over\partial x},$$
其要點是藉助於虛代換 $z=x+iy$~﹐ 利用實函數去計算複函數的積分, \
展示了計算積分 $\int f(z)dz$ 的新方法~。 因此~﹐ 歐拉發現了
$$\int_0^\infty{\sin x\over x}dx={\pi\over 2}\hbox{。}$$

歐拉還藉助於保角映射把複變解析函數用於理論製圖學等方面的
研究~。 他在 1768 年的一篇論文中~﹐ 利用複變函數~﹐ 設計了一種
從一個平面到另一個平面的保角映射的表示方法~。 1775 年~﹐ 他又
證明球面不可能全等地映入平面~。 這裡~﹐ 他再一次用了複變函
數而且討論了相當一般的保角表示~。

歐拉的這些思想﹐十九世紀在柯西﹑ 黎曼闡發解析函數的一般理
論時~﹐ 都獲得了深入的發展~。 譬如~﹐ 上述達朗貝爾和歐拉的
方程就是以柯西和黎曼的名字命名的~。
\v 10pt

{\heiten 7.\h 10pt 微積分學}
\v 5pt

歐拉的《微分學原理》和《積分學原理》二書對當時的微積分方
法作了最詳盡﹑最有系統的解說~﹐ 他以其眾多的發現豐富

孫老師你這檔案是 CHITEX? CJK?
可惜我只有 CWTEX，剛剛轉轉一下，
錯誤一堆...還需一些字型...

記得在貝爾的"大數學家"裡有提到牛頓 阿基米得 高斯 為最有貢獻的3大數學家.但我認為歐拉的成就不僅足以於他們並駕齊驅,有些方面恐怕還超過他們.
我們也陬L法評斷,到底對數學最有貢獻的數學家是誰,也無法評斷誰的數學奶O最強.但只要對數學有貢獻的數學家,基本上都可稱為大數學家,何必分名次呢?
我認為不限對於數學,對於任何一門喜愛的學科,才藝,只要肯多花時間學習,研究,不抱著尼Q思想or競爭心態.不管是否有在這門科目達到最好的境界,都可以說是領悟了該科的精神.
個人認為競賽只是一種檢測自己實力,見見世面,與各地好手交流切磋的過程.但看到一些認識的小學生,為了增強數學實力去參加數學比賽,拼命的先修高中課程,且對於名次特別的愛計較.出發點雖然好,但完全失去了學習數學的樂趣.這時在有點可歎.
雖然我現在只是高中生,雖然數學實力並不怎麼強.但我仍以學習數學為樂.努力研究,學習.相信有一天也會領悟到數學的精神的.

好的數學競賽考題是挑戰學生的數學能力，而不只是數學知識。您說考資優班時還發現一大堆題目都看過，顯然命題老師沒認真，他可能還不太了解資優教育的真諦，他不知道績優教育與資優教育的分野。
孫文先敬上